Question

. Катер прошел 5 км по течению реки и 8 км по озеру, затратив на весь путь 1 час. Скорость течения равна 3 км/ч. Найти скорость катера по течению. 2. Бассейн наполняется двумя трубами за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на 15 ч быстрее, чем вторая? 3. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 1 меньше гипотенузы, а другой− на 8 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. 4. Найдите большую сторону прямоугольника, если известно, что одна из сторон на 3 больше другой, а диагональ прямоугольника равна 15.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1.

x - скорость катера, км/ч.

5/(x+3) +8/x=1

(5x+8(x+3))/(x(x+3))=1

5x+8x+24=x²+3x

x²+3x-13x-24=0

x²-10x-24=0; D=100+96=196

x₁=(10-14)/2=-4/2=-2 - ответ не подходит по смыслу.

x₂=(10+14)/2=23/2=12 км/ч - скорость катера.

2.

За единицу примем объём бассейна.

x - время заполнения бассейна 1-й трубой, ч.

1/x +1/(x+15)=1/10

(x+15+x)/(x(x+15))=1/10

10(2x+15)=x²+15x

x²+15x-20x-150=0

x²-5x-150=0; D=25+600=625

x₁=(5-25)/2=-20/2=-10 - ответ не подходит по смыслу.

x₂=(5+25)/2=30/2=15 ч - время заполнения бассейна 1-й трубой.

3.

a²+b²=c², где

a,b - катеты; с - гипотенуза.

(c-1)²+(c-8)²=c²

c²-2c+1+c²-16c+64=c²

2c²-18c+65-c²=0

c²-18c+65=0; D=324-260=64

c₁=(18-8)/2=10/2=5 - ответ не подходит, если 2-й катет меньше гипотенузы на 8, то он должен составлять: 5-8=-3, что не подходит по смыслу.

c₂=(18+8)/2=26/2=13

4.

a²+b²=c², где

a - длина; b - ширина; с - диагональ.

(b+3)²+b²=15²

b²+6b+9+b²-225=0

2b²+6b-216=0               |2

b²+3b-108=0; D=9+432=441

b₁=(-3-21)/2=-24/2=-12 - ответ не подходит по смыслу.

b₂=(-3+21)/2=18/2=9 - ширина.

9+3=12 - длина (большая сторона).

Answer 2

1. Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для расстояния: $\text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время}$. Пусть $V_c$ - скорость катера по течению реки (в км/ч), $V_r$ - скорость течения реки (в км/ч), $V_b$ - скорость катера относительно берега (в км/ч).

Сначала вычислим скорость катера относительно берега. Катер двигался 5 км по течению реки, и скорость течения реки равна 3 км/ч, поэтому $V_b = V_c + V_r$.

Затем вычислим время, которое затратил катер на движение по реке и по озеру. По условию задачи суммарное время равно 1 часу.

$$\frac{5 \text{ км}}{V_c + V_r} + \frac{8 \text{ км}}{V_c} = 1 \text{ час}$$

Теперь мы можем решить этот уравнение относительно $V_c$. Сначала умножим обе стороны на $(V_c + V_r)$, чтобы избавиться от дробей:

$$5(V_c + V_r) + 8V_c = (V_c + V_r) \cdot 1 \text{ час}$$

Раскроем скобки:

$$5V_c + 5V_r + 8V_c = V_c + V_r$$

Теперь выразим $V_c$:

$$5V_c + 8V_c = V_c + V_r - 5V_r$$

$$13V_c = V_c - 4V_r$$

$$12V_c = -4V_r$$

$$V_c = -\frac{4V_r}{12}$$

Упростим:

$$V_c = -\frac{1}{3}V_r$$

Теперь у нас есть выражение для скорости катера по течению реки $V_c$ через скорость течения реки $V_r$. Ответ на первый вопрос: скорость катера по течению равна $-\frac{1}{3}$ кратности скорости течения реки.

2. Пусть $T_1$ - время, за которое первая труба наполняет бассейн, и $T_2$ - время, за которое вторая труба наполняет бассейн. По условию задачи, $T_1$ на 15 часов быстрее $T_2$, то есть $T_1 = T_2 - 15$.

Известно, что сумма времени для обеих труб равна 10 часам:

$T_1 + T_2 = 10$ часов

Теперь мы можем подставить выражение для $T_1$ из первого уравнения во второе:

$(T_2 - 15) + T_2 = 10$ часов

Решим это уравнение:

$2T_2 - 15 = 10$ часов

Прибавим 15 к обеим сторонам:

$2T_2 = 25$ часов

Разделим обе стороны на 2:

$T_2 = 12.5$ часа

Теперь мы знаем, что вторая труба наполняет бассейн за 12.5 часов. Чтобы найти время для первой трубы, используем первое уравнение:

0 0