Question

Катер прошел 5 км по течению реки и 8 км по озеру, затратив на весь путь 1 час. Скорость течения равна 3 км/ч. Найти скорость катера по течению. 2. Бассейн наполняется двумя трубами за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на 15 ч быстрее, чем вторая? 3. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 1 меньше гипотенузы, а другой− на 8 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. 4. Найдите большую сторону прямоугольника, если известно, что одна из сторон на 3 больше другой, а диагональ прямоугольника равна 15.

Answer 1

Ответ:

1)  15 км/ час.

2) 15 часов.

3)  13.

4)  12.

Объяснение:

1.   Решение.

Пусть х км/час - собственная скорость катера

Скорость по течению равна х+3 км/час

Время на движение по течению затрачено

t1=S1/v1 = 5/(x+3) часов.

Время на движение по озеру затрачено

t2=S2/v2 = 8/х  часов.

Общее время t1+t2=1 час.

Составим уравнение:

5/(x+3) + 8/x = 1;

5x + 8(x+3)=x(x+3);

5x+8x+24 = x²+3x;

x² - 10x -24 = 0;

По теореме Виета  

х1 = 12; х2 = -2 - не соответствует условию

х=12 км/час - собственная скорость катера.

х+3=12+3=15 км/час - скорость катера по течению.

***

2) Решение.  

Производительность двух труб равна 1/10 часть /час.

Пусть первая  труба наполняет бассейн за х часов. Тогда ее производительность равна 1/х часть/час

Вторая  труба наполняет на 15 часов дольше:  х+15 часов и

ее производительность равна 1/(х+15) часть/час.

Составим уравнение:

1/х + 1/(х+15)=1/10;

10(х+15) + 10х = х(х+15);

10х + 150 +10х = х²+15х;

х²+15х -10х -10х -150=0;

х²-5х -150=0;

х1=15;  х2=-10 - не соответствует условию.

х=15 часов - время заполнения первой  трубой.

***

3)  Решение.  

Обозначим гипотенузу через  х. Тогда один из катетов равен х-1, а второй х-8.

По теореме Пифагора

х² = (х-1)² + (х-8)²;

х²=х²-2х+1 + х²-16х+64;

х²-18х+65=0;

x1=13;  x2=5;

------------

Если гипотенуза равна 13, то катеты равны 13-1=12 и 13-8=5.

Если гипотенуза равна 5, то катеты равны 5-1 = 4 и 5-8=-3 - не соответствует условию.

Следовательно гипотенуза равна 13.

***

Решение.

Пусть меньшая сторона равна х. Тогда большая равна х+3.

По теореме Пифагора  

x²+(x+3)² = 15²;

x²+x²+6x+9=225;

2x² +6x - 216=0;

x²+3x - 108=0;

x1=9;  x2= - 12 - не соответствует условию.

х=9 меньшая сторона.

х+3=9+3=12 = большая сторона прямоугольника

Answer 2

1. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу расстояния, скорости и времени:

   Дистанция = Скорость × Время

   Пусть V - скорость катера по течению. Тогда скорость катера против течения будет V - 3 (так как скорость течения вычитается из скорости катера).

   Время, затраченное на движение по реке (против течения), равно 5 км / (V - 3) часов. Время, затраченное на движение по озеру (по течению), равно 8 км / V часов.

   Известно, что общее время равно 1 часу:

   5 / (V - 3) + 8 / V = 1

   Теперь давайте решим это уравнение:

   Умножим обе стороны на V(V - 3), чтобы избавиться от дробей:

   5V + 8(V - 3) = V(V - 3)

   Раскроем скобки:

   5V + 8V - 24 = V^2 - 3V

   Объединим все члены в одно уравнение:

   V^2 - 3V - 5V - 8V + 24 = 0

   V^2 - 16V + 24 = 0

   Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для вычисления корней:

   V = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   где a = 1, b = -16 и c = 24.

   V = (16 ± √(16² - 4×1×24)) / (2×1)

   V = (16 ± √(256 - 96)) / 2

   V = (16 ± √160) / 2

   V = (16 ± 4√10) / 2

   Теперь найдем два возможных значения V:

   V₁ = (16 + 4√10) / 2 ≈ 12.47 км/ч V₂ = (16 - 4√10) / 2 ≈ 3.53 км/ч

   Поскольку скорость катера не может быть отрицательной, то ответом является V₁ ≈ 12.47 км/ч.

2. Пусть первая труба наполняет бассейн со скоростью x бассейнов в час, а вторая труба - со скоростью (x - 15) бассейнов в час. За 10 часов обе трубы наполняют бассейн, поэтому можно записать уравнение:

   10x + 10(x - 15) = 1

   Раскроем скобки:

   10x + 10x - 150 = 1

   Объединим подобные члены:

   20x - 150 = 1

   Прибавим 150 к обеим сторонам уравнения:

   20x = 1 + 150

   20x = 151

   Разделим обе стороны на 20, чтобы найти значение x:

   x = 151 / 20

   x = 7.55

   Поэтому первая труба наполнит бассейн за 7.55 часов.

3. Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен x метрам, а другой катет равен (x - 1) метр, а гипотенуза равна (x + 8) метрам. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников:

   (x - 1)² + x² = (x + 8)²

   Раскроем скобки:

   x² - 2x + 1 + x² = x² + 16x + 64

   Объединим подобные члены:

   2x² - 2x + 1 = x² + 16x + 64

   Выразим x²:

   x² - 18x - 63 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для вычисления корней:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   где a = 1, b = -18 и c = -63.

   x = (18 ± √((-18)² - 4×1×(-63))) / (2×1)

   x = (18 ± √(324 + 252)) / 2

   x = (18 ± √576) / 2

   x = (18 ± 24) / 2

   Теперь найдем два возможных значения x:

   x₁ = (18 + 24) / 2 = 21 м x₂ = (18 - 24) / 2 = -3 м

   Ответ: x₁ = 21 м (положительное значение катета).

4. Пусть одна из сторон прямоугольника равна x, а другая сторона равна (x + 3). Диагональ прямоугольника равна 15. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников:

   x² + (x + 3)² = 15²

   Раскроем скобки:

   x² + x² + 6x + 9 = 225

   Объединим подобные члены:

   2x² + 6x + 9 = 225

   Выразим 2x²:

   2x² = 225 - 6x - 9

   2x² = 216 - 6x

   Переносим все члены влево:

   2x² + 6x - 216 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для вычисления корней:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   где a = 2, b = 6 и c = -216.

   x = (-6 ± √(6² - 4×2×(-216))) / (2×2)

   x = (-6 ± √(36 + 1728)) / 4

   x = (-6 ± √1764) / 4

   x = (-6 ± 42) / 4

   Теперь найдем два возможных значения x:

   x₁ = (−6 + 42) / 4 = 36 / 4 = 9 м x₂ = (−6 - 42) / 4 = -48 / 4 = -12 м

   Ответ: Большая сторона прямоугольника равна x₁ = 9 м.