Question

Y=7x-6sinx+12 на отрезке (0 п/2) найти наименьшее и наибольшее значение функции

Answer 1

Если по условию задан отрезок, то скобки должны быть квадратными, то есть границы отрезка должны быть включены в интервал.

$y=7x-6\sin x+12;\ \ \ x\in\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$

$y'=(7x-6\sin x+12)'=7-6\cos x\\\\y'=0\\7-6\cos x=0;\ \ \ \cos x=\dfrac76>1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ x\in\varnothing$

Критических точек у функции нет.

$y(0)=7\cdot 0-6\sin 0+12=12\\\\y\left(\dfrac{\pi}2\right)=7\cdot \left(\dfrac{\pi}2\right)-6\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}2\right)+12=\\\\=3,5\pi-6+12=3,5\pi+6\approx17$

Ответ: на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$

наименьшее значение функции $y(0)=12$,

наибольшее значение функции $y\left(\dfrac{\pi}2\right)=3,5\pi+6$.

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции Y = 7x - 6sin(x) + 12 на отрезке [0, π/2], нужно сначала найти критические точки и затем проверить их, чтобы определить, являются ли они локальными минимумами или максимумами, а также проверить значения функции на концах отрезка.

1. Начнем с нахождения производной функции Y по x:

Y'(x) = 7 - 6cos(x).

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

7 - 6cos(x) = 0.

Решим это уравнение:

6cos(x) = 7, cos(x) = 7/6.

Однако значения косинуса не могут быть больше 1 по модулю, поэтому нет критических точек внутри отрезка [0, π/2].

3. Теперь проверим значения функции Y на концах отрезка:

При x = 0: Y(0) = 7*0 - 6sin(0) + 12 = 0 - 0 + 12 = 12.

При x = π/2: Y(π/2) = 7*(π/2) - 6sin(π/2) + 12 = (7π/2) - 6(1) + 12 = (7π/2) - 6 + 12 = (7π/2) + 6.

Так как π/2 находится между 1 и 2, то (7π/2) будет находиться между (7/2) и 7. Таким образом, минимальное значение на отрезке [0, π/2] достигается при x = 0 и равно 12, а максимальное значение достигается при x = π/2 и равно (7π/2) + 6.