Question

Доказать, что для данных дифференциальных уравнений указанные функции являются решениями при любом значении С и найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям: dy=3x^2ydx y=Ce^x^3 y(0) = 2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для доказательства того, что данная функция y = Ce^(x^3) является решением дифференциального уравнения dy = 3x^2ydx, мы можем воспользоваться методом дифференцирования и проверить, удовлетворяет ли она уравнению. Затем мы найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 2.

1. Дифференцируем y = Ce^(x^3) по x: dy/dx = Ce^(x^3) * d/dx(x^3) = Ce^(x^3) * 3x^2.

2. Теперь выразим dy в виде 3x^2ydx и подставим в исходное дифференциальное уравнение: 3x^2ydx = 3x^2 * Ce^(x^3) * dx.

3. Рассмотрим левую часть уравнения: dy = 3x^2ydx.

4. Рассмотрим правую часть уравнения: 3x^2 * Ce^(x^3) * dx = 3x^2Ce^(x^3)dx.

Таким образом, у нас есть равенство левой и правой части исходного дифференциального уравнения, следовательно, функция y = Ce^(x^3) является решением этого уравнения для любого значения константы C.

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 2:

y(0) = 2 = Ce^(0) = C * 1, так как e^0 = 1.

Отсюда получаем значение константы C:

C = 2.

Таким образом, частным решением дифференциального уравнения dy = 3x^2ydx с начальным условием y(0) = 2 является y = 2e^(x^3).