Question

Найти промежутки монотонности y=2x³-3x²-36x+5, Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4

Answer 1

Ответ:

y' = 6x²+6x-12

найдем экстремумы:

6*(х²+х-2)=0

D = 1²-4*(-2) = 9

√D = 3

X1=(-1-3)/2 = -2

X2=(-1+3)/2 = 1

от -∞ до -2 ↑

от -2 до 1 ↓

от 1 до +∞ ↑

функция убывает при х∈[-2;1]

функция возрастает при х∈(-∞;-2] i [1;+∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности функции y = 2x³ - 3x² - 36x + 5, нужно найти её производную и определить знаки производной на разных интервалах.

1. Найдем производную функции y по x:

y' = d/dx(2x³ - 3x² - 36x + 5)

y' = 6x² - 6x - 36

2. Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

6x² - 6x - 36 = 0

Упростим уравнение, разделим его на 6:

x² - x - 6 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(x - 3)(x + 2) = 0

x₁ = 3 x₂ = -2

3. Теперь найдем знаки производной на интервалах между критическими точками и за пределами:

• Берем тестовую точку перед x = -2, например, x = -3: Подставим x = -3 в y': y'(-3) = 6(-3)² - 6(-3) - 36 = 54 Так как y'(-3) положительное, то на интервале (-бесконечность, -2) производная положительна, и функция возрастает.

• Берем тестовую точку между x = -2 и x = 3, например, x = 0: Подставим x = 0 в y': y'(0) = 6(0)² - 6(0) - 36 = -36 Так как y'(0) отрицательное, то на интервале (-2, 3) производная отрицательна, и функция убывает.

• Берем тестовую точку после x = 3, например, x = 4: Подставим x = 4 в y': y'(4) = 6(4)² - 6(4) - 36 = 60 Так как y'(4) положительное, то на интервале (3, +бесконечность) производная положительна, и функция возрастает.

Итак, мы определили промежутки монотонности функции y = 2x³ - 3x² - 36x + 5:

• Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -2) и (3, +бесконечность).
• Функция убывает на интервале (-2, 3).

Теперь перейдем к нахождению экстремумов функции y = -2x³ - 3x² + 12x - 4.

1. Найдем производную функции y по x:

y' = d/dx(-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y' = -6x² - 6x + 12

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

-6x² - 6x + 12 = 0

Упростим уравнение, деля его на -6:

x² + x - 2 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(x + 2)(x - 1) = 0

x₁ = -2 x₂ = 1

3. Теперь найдем знаки производной на интервалах между критическими точками и за пределами:

• Берем тестовую точку перед x = -2, например, x = -3: Подставим x = -3 в y': y'(-3) = -6(-3)² - 6(-3) + 12 = -36 Так как y'(-3) отрицательное, то на интервале (-бесконечность, -2) производная отрицательна, и функция убывает.

• Берем тестовую точку между x = -2 и x = 1, например, x = 0: Подставим x = 0 в y': y'(0) = -6(0)² - 6(0) + 12 = 12 Так как y'(0) положительное, то на интервале (-2, 1) производная положительна, и функция возрастает.

• Берем тестовую точку после x = 1, например, x = 2: Подставим x = 2 в y': y'(2) = -6(2)² - 6(2) + 12 = -12 Так как y'(2) отрицательное, то на интервале (1, +бесконечность) производная отрицательна, и функция убывает.

Итак, мы определили промежутки монотонности функции y = -2x³ - 3x² + 12x - 4:

• Функция убывает на интервале (-бесконечность, -2).
• Функция возрастает на интервале (-2, 1).
• Функция убывает на интервале (1, +бесконечность).

Для нахождения экстремумов, нужно определить, являются ли критические точки локальными минимумами или максимумами, что можно сделать, проанализировав знаки второй производной (y''). Если y'' > 0, то это локальный минимум, а если y'' < 0, то это локальный максимум.

Для функции y = -2x³ - 3x² + 12x - 4:

1. Найдем вторую производную:

y'' = d²/dx²(-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y'' = -12x - 6

2. Теперь подставим критические точки:

• Для x = -2: y''(-2) = -12(-2) - 6 = 18 Так как y''(-2) положительное, то x = -2 - локальный минимум.

• Для x = 1: y''(1) = -12(1) - 6 = -18 Так как y''(1) отрицательное, то x = 1 - локальный максимум.

Итак, функция y = -2x³ - 3x² + 12x - 4 имеет локальный минимум при x = -2 и локальный максимум при x = 1.