Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=(2x+2)², y=0, x=2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно найти интеграл функции, заданной графически. В данном случае у нас есть два участка фигуры, разделенные вертикальной линией x = 2.

1. Первый участок: Функция y = (2x + 2)² ограничена снизу горизонтальной линией y = 0 и сверху функцией y = (2x + 2)². Для нахождения площади этого участка мы можем вычислить определенный интеграл:

   ∫[0, 2] (2x + 2)² dx

   Для вычисления этого интеграла развернем выражение (2x + 2)² и упростим его:

   (2x + 2)² = 4x² + 8x + 4

   Теперь вычислим интеграл:

   ∫[0, 2] (4x² + 8x + 4) dx

   Интегрируем каждый член по отдельности:

   ∫[0, 2] 4x² dx + ∫[0, 2] 8x dx + ∫[0, 2] 4 dx

   = [4/3 * x³] [0, 2] + [4 * x²] [0, 2] + [4x] [0, 2]

   Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

   = (4/3 * 2³ - 4/3 * 0³) + (4 * 2² - 4 * 0²) + (4 * 2 - 4 * 0)

   = (32/3) + (16) + (8)

   = 32/3 + 16 + 8

2. Второй участок: Функция y = 0 ограничивает этот участок снизу, а вертикальная линия x = 2 - справа. Этот участок представляет собой прямоугольник шириной 2 и высотой 0, поэтому его площадь равна 0.

Итак, общая площадь фигуры, ограниченной линиями y = (2x + 2)², y = 0 и x = 2, равна сумме площадей обоих участков:

Общая площадь = Площадь первого участка + Площадь второго участка Общая площадь = (32/3 + 16 + 8) + 0 Общая площадь = 32/3 + 24 Общая площадь = (32 + 72)/3 Общая площадь = 104/3

Таким образом, площадь фигуры равна 104/3 или приближенно 34.67 единицам квадратных.