Question

Решите уравнение 4sin²x+2sin2x+6cos²x=3​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями, чтобы преобразовать его к более простому виду. Воспользуемся тригонометрической идентичностью $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Исходное уравнение:

$4\sin^2(x) + 2\sin(2x) + 6\cos^2(x) = 3$

Теперь заменим $\sin^2(x)$ и $\cos^2(x)$ на 1:

$4(1 - \cos^2(x)) + 2\sin(2x) + 6\cos^2(x) = 3$

Упростим уравнение, раскрыв скобки:

$4 - 4\cos^2(x) + 2\sin(2x) + 6\cos^2(x) = 3$

Теперь объединим похожие члены:

$4 - 4\cos^2(x) + 6\cos^2(x) + 2\sin(2x) = 3$

После упрощения получим:

$2\cos^2(x) + 2\sin(2x) = -1$

Теперь используем тригонометрическую идентичность $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$2\cos^2(x) + 2(2\sin(x)\cos(x)) = -1$

Упростим дальше:

$2\cos^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) + 1 = 0$

Теперь давайте заменим $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$ (так как $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$):

$2(1 - \sin^2(x)) + 4\sin(x)\cos(x) + 1 = 0$

Раскроем скобки:

$2 - 2\sin^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) + 1 = 0$

Давайте заменим $\sin(2x)$ на $2\sin(x)\cos(x)$ во втором члене:

$2 - 2\sin^2(x) + 2\sin(2x) + 1 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin(x)$:

$2 - 2\sin^2(x) + 2\sin(2x) + 1 = 0$

Переносим все члены на одну сторону:

$2\sin^2(x) - 2\sin(2x) - 3 = 0$

Теперь можно воспользоваться квадратным уравнением относительно $\sin(x)$. Решим его:

$2\sin^2(x) - 2\sin(2x) - 3 = 0$

$2\sin^2(x) - 2(2\sin(x)\cos(x)) - 3 = 0$

Теперь заменим $\sin(x)$ на $t$, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4t\cos(x) - 3 = 0$

Решение этого квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 2$, $b = -4\cos(x)$, и $c = -3$.

$D = (-4\cos(x))^2 - 4(2)(-3) = 16\cos^2(x) + 24$

Теперь найдем корни этого уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$