Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y = 2х – x^2, y = х^3, у = 0

Answer 1

Ответ: Ответ 1

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x - x^2, y = x^3 и y = 0, нам нужно найти точки их пересечения, а затем интегрировать разность этих функций вдоль оси x в пределах этих точек. Первым шагом найдем точки пересечения функций.

1. Найдем точки пересечения между y = 2x - x^2 и y = x^3:

2x - x^2 = x^3

Сначала приведем уравнение в стандартную форму:

x^3 + x^2 - 2x = 0

Факторизуем:

x(x^2 + x - 2) = 0

x(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем три корня: x = 0, x = -2 и x = 1.

Теперь у нас есть три точки пересечения: (0, 0), (-2, -8) и (1, 1).

2. Теперь найдем точки пересечения между y = x^3 и y = 0. Это происходит при x = 0.

Итак, у нас есть следующие точки пересечения: (0, 0), (-2, -8) и (1, 1).

3. Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Для этого мы интегрируем разность функций y = 2x - x^2 и y = x^3 вдоль оси x в пределах от x = -2 до x = 1:

S = ∫[from -2 to 1] (2x - x^2 - x^3) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = [x^2 - (x^3)/3 - (x^4)/4] from -2 to 1

S = [(1^2 - (1^3)/3 - (1^4)/4) - ((-2)^2 - ((-2)^3)/3 - ((-2)^4)/4)]

S = [(1 - 1/3 - 1/4) - (4 - 8/3 - 16/4)]

S = [(4/12 - 4/12 - 3/12) - (48/12 - 32/12 - 48/12)]

S = [-2/12 - (-128/12)]

S = (-2/12) + (128/12)

S = 126/12

S = 21/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x - x^2, y = x^3 и y = 0, равна 21/2 или 10.5.