Question

Решите неравенство: f′(х)≥0,  f(х)=х3+3х4 -3x2+1.​

Answer 1

Ответ:

$f(x)=x^3+3x^4-3x^2+1\\\\f'(x)=3x^2+12x^3-6x=3x\, (4x^2+x-2)=3x\Big (x-\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}\Big)\Big(x-\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\Big)\\\\4x^2+x-2=0\ \ ,\ \ D=1+4\cdot 4\cdot 2=33\ ,\\\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}\approx -2,37\ \ ,\ \ \ \ x_2=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\approx 3,37\\\\\3x\Big (x-\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}\Big)\Big(x-\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\Big)\geq 0\\\\\\znaki\ f'(x):\ \ ---\Big (\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}\Big)+++(\ 0\ )---\Big(\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\Big)+++$

$x\in \Big [\, \dfrac{1-\sqrt{33}}{2}\ ;\ 0\ \Big]\cup \Big [\, \dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\ ;+\infty \, \Big)$

Answer 2

Чтобы решить неравенство f'(x) ≥ 0 для функции f(x) = x^3 + 3x^4 - 3x^2 + 1, нам нужно найти производную f'(x) и определить интервалы, на которых она неотрицательна.

Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (x^3 + 3x^4 - 3x^2 + 1)

Используем правила дифференцирования степеней и констант:

f'(x) = 3x^2 + 12x^3 - 6x

Теперь определим интервалы, на которых f'(x) ≥ 0. Для этого нам нужно найти корни уравнения f'(x) = 0 и проверить знаки производной между ними.

1. Решим уравнение f'(x) = 0:

3x^2 + 12x^3 - 6x = 0

Давайте вынесем x за скобку:

x(3x + 12x^2 - 6) = 0

Теперь факторизуем:

x = 0 3x + 12x^2 - 6 = 0

2. Решим уравнение 3x + 12x^2 - 6 = 0. Для этого можно воспользоваться методом Квадратного Трехчлена (квадратное уравнение):

3x + 12x^2 - 6 = 0

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

6x + 24x^2 - 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем попробовать использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 24, b = 6 и c = -12.

Вычислим дискриминант (D):

D = b^2 - 4ac D = 6^2 - 4 * 24 * (-12) D = 36 + 1152 D = 1188

Теперь найдем корни:

x1 = (-6 + √1188) / (2 * 24) x2 = (-6 - √1188) / (2 * 24)

x1 ≈ 0.1552 x2 ≈ -0.6552

Итак, у нас есть три точки, которые нам интересны: x = -0.6552, x = 0 и x = 0.1552.

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной f'(x) на интервалах между этими точками:

Интервал (-бесконечность, -0.6552): Выберем x = -1 (любое значение меньше -0.6552) f'(-1) = 3(-1)^2 + 12(-1)^3 - 6(-1) = 3 + (-12) - (-6) = 3 - 12 + 6 = -3 + 6 = 3 > 0

Интервал (-0.6552, 0): Выберем x = -0.5 (любое значение между -0.6552 и 0) f'(-0.5) = 3(-0.5)^2 + 12(-0.5)^3 - 6(-0.5) = 3 * 0.25 - 12 * (-0.125) + 3 = 0.75 + 1.5 + 3 = 5.25 > 0

Интервал (0, 0.1552): Выберем x = 0.1 (любое значение между 0 и 0.1552) f'(0.1) = 3(0.1)^2 + 12(0.1)^3 - 6(0.1) = 0.03 + 0.0012 - 0.6 = 0.0312 - 0.6 = -0.5688 < 0

Интервал (0.1552, +бесконечность): Выберем x = 1 (любое значение больше 0.1552) f'(1) = 3(1)^2 + 12(1)^3 - 6(1) = 3 + 12 - 6 = 15 - 6 = 9 > 0

Итак, производная f'(x) неотрицательна на интервалах (-бесконечность, -0.6552) и (-0.6552, 0), а на интервалах (0, 0.1552) и (0.1552, +бесконечность) она отрицательна.

Теперь мы можем сформулировать ответ на неравенство f'(x) ≥ 0:

Решение неравенства f'(x) ≥ 0: x ∈ (-бесконечность, -0.6552] ∪ [0, +бесконечность)

То есть, значения x, для которых данное неравенство выполняется, находятся в интервалах (-бесконечность, -0.6552] и [0, +бесконечность).