Question

Докажите что функция F(x)=x²+cosx-7 являеться первообразной для функции f(×)=2x-sinx

Answer 1

$F(x)=x^{2}+Cosx-7\\\\F'(x) = (x^{2})'+(Cosx)'-7'=2x-Sinx-0=2x-Sinx\\\\F'(x)=f(x)$

Если F'(x) = f(x) , то F(x) является первообразной для функции f(x) .

Answer 2

Для доказательства того, что функция $F(x) = x^2 + \cos(x) - 7$ является первообразной (или антипроизводной) для функции $f(x) = 2x - \sin(x)$, нужно убедиться, что производная $F(x)$ равна $f(x)$. То есть, нужно проверить следующее:

$$F'(x) = f(x)$$

Давайте найдем производную $F(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + \cos(x) - 7)$$

Используя правила дифференцирования, получим:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\cos(x)) - \frac{d}{dx}(7)$$

Теперь вычислим производные каждого из членов:

1. $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
2. $\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$ (по правилу дифференцирования косинуса)
3. $\frac{d}{dx}(7) = 0$ (производная константы равна нулю)

Теперь сложим все члены:

$$F'(x) = 2x - \sin(x)$$

Итак, мы видим, что $F'(x) = 2x - \sin(x)$, что и является функцией $f(x)$. Таким образом, функция $F(x) = x^2 + \cos(x) - 7$ является первообразной для функции $f(x) = 2x - \sin(x)$.