Question

3. Функция задана уравнением y = x2 – 4x - 5 а) Найдите вершину параболы ; b) В какой точке график данной функции пересекает ось ОY? c) Найдите точки пересечения графика функции с осью ОХ. d) Запишите уравнение оси симметрии графика данной функции. e) Постройте график функции. f) Найдите промежутки возрастания убывания функции На моей странице есть ещё задания, помогите решить пожалуйста!

Answer 1

Функция задана уравнением y = x² – 4x - 5

Это парабола ,ветви вверх. Область определения :х-любое, множество значений функции [ -9; +∞) ;

а) Найдите вершину параболы

х₀=-в/2а,   х₀=-(-4)/2= 2 ,  у₀=2²-4*2 -5= -9 , ( 2;  -9).  

Тогда наименьшее значение функции у=-9 ( при х=2)

Наибольшего значения нет    ;

b) В какой точке график данной функции пересекает ось ОY.

Точки пересечения с оу ( х=0)

у= 0²- 4*0-5=-5, Точка (0; -5).

c) Найдите точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Точки пересечения с осью ох( у=0)

x²- 4x-5=0 , Д=36 , х₁=(4+6)/2=5,   х₂=(4-6)/2=-1. Точки (5;0) , ( -1;0).

d) Запишите уравнение оси симметрии графика данной функции :

х=2.

e) Постройте график функции.Смотри ниже

f) Найдите промежутки возрастания убывания функции

Функция убывает при х≤ 2 ,

функция возрастает при  x≥2;

Промежутки знакопостоянства функции :

 +                  . -                .+

______(-1)_______(5)_______

у>0 при    х <-1 и x>5

у<0 при  -1 <х< 5 ;

Доп. точки  у= x²- 4x-5:  

х:  -2    1     6    

у:   7   -8    7    

Answer 2

Давайте решим каждую часть вашего вопроса по очереди:

a) Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой для координат вершины параболы: $x = -\frac{b}{2a}$, где в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ коэффициенты $a$, $b$ и $c$ равны соответственно 1, -4 и -5.

$x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

Теперь подставим $x = 2$ в уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -9).

b) Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью $OY$, мы должны подставить $x = 0$ в уравнение:

$y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$

График функции пересекает ось $OY$ в точке (0, -5).

c) Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью $OX$, мы должны приравнять $y$ к нулю и решить уравнение:

$0 = x^2 - 4x - 5$

Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться дискриминантом $\Delta = b^2 - 4ac$, чтобы определить, есть ли решения. В данном случае $a = 1$, $b = -4$, и $c = -5$:

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $\Delta$ положительный, у нас есть два действительных корня. Мы можем найти их, используя формулу:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Таким образом, график функции пересекает ось $OX$ в точках (5, 0) и (-1, 0).

d) Ось симметрии параболы проходит через вершину и перпендикулярна оси $OX$. Вершина находится в точке (2, -9), следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид $x = 2$.

e) Чтобы построить график функции, используйте найденные значения вершины и точек пересечения с осями. График будет выглядеть как парабола, открывшаяся вверх:

f) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно определить знак производной функции. Производная функции $y = x^2 - 4x - 5$ равна $y' = 2x - 4$.

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю, чтобы найти критические точки:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Когда $x < 2$, производная положительна ($y' > 0$), что означает возрастание функции. Когда $x > 2$, производная отрицательна ($y' < 0$), что означает убывание функции.

Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty, 2)$ и убывает на интервале $(2, +\infty)$.

Теперь вы решили все части вашей задачи.

Answer 3

Давайте по порядку решим каждую часть задачи:

а) Найдем вершину параболы, которая задана уравнением y = x^2 - 4x - 5. Вершина параболы имеет координаты (h, k), где h - это абсцисса вершины, и k - это ордината вершины. Для этой задачи мы можем использовать формулу вершины параболы:

h = -b / (2a) и k = f(h), где a, b и c - коэффициенты уравнения параболы y = ax^2 + bx + c.

В данном случае, a = 1, b = -4, и c = -5. Подставляя их в формулу, получаем:

h = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2 k = 1(2^2) - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9

Итак, вершина параболы находится в точке (2, -9).

b) Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью OY, мы должны установить x = 0 в уравнении функции:

y = 0^2 - 4*0 - 5 = -5

Таким образом, график функции пересекает ось OY в точке (0, -5).

c) Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью OX, мы должны установить y = 0 и решить квадратное уравнение:

x^2 - 4x - 5 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, факторизацию или квадратное уравнение. Если используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -4, и c = -5. Подставляя их, получим:

x = (4 ± √(16 + 20)) / 2 x = (4 ± √36) / 2 x = (4 ± 6) / 2

Таким образом, у нас есть две решения:

x1 = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5 x2 = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1

Точки пересечения с осью OX: (5, 0) и (-1, 0).

d) Уравнение оси симметрии графика параболы имеет вид x = h, где h - абсцисса вершины. В нашем случае h = 2, поэтому уравнение оси симметрии: x = 2.

e) Чтобы построить график функции, используйте найденные значения вершины и точки пересечения с осями. График будет иметь форму параболы с вершиной в точке (2, -9), пересечениями с осями (0, -5), (5, 0) и (-1, 0), а также осью симметрии x = 2.

f) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, рассмотрите знак производной функции. Функция y = x^2 - 4x - 5 имеет положительный коэффициент при x^2, поэтому парабола направлена вверх, и она возрастает слева и справа от оси симметрии x = 2. Таким образом, промежуток возрастания функции - это (-бесконечность, 2) и (2, +бесконечность), а промежуток убывания функции отсутствует.