Question

Даны независимые совместные события A₁, A₂, A₃ и их вероятности P(A₁), P(A₂), P(A₃). Найти вероятности следующих событий: A - произойдут все события A₁, A₂, A₃ С - произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃ D - произойдет только одно из событий A₁, A₂, A₃ A₁ -выполнение плана i-ой бригадой P(A₁)=0,95, P(A₂)=0,9, P(A₃)=0,85.

Answer 1

Опорные понятия НЕЗАВИСИМЫЕ СОВМЕСТНЫЕ события

т.е.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не влияет на появление другого.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

теперь оценим вероятности каждого события

P(A₁)⁺=0.95 тогда P(A₁)⁻=1-0.95=0.05

P(A₂)⁺=0.9 тогда P(A₂)⁻=1-0.9=0.1

P(A₃)⁺=0.85 тогда P(A₃)⁻=1-0.85=0.15

Теперь решение

1) произойдут все события A₁, A₂, A₃

т.е. будет выполнено условие P(A₁)⁺ и P(A₂)⁺ и P(A₃)⁺

значит Вероятность = 0,95*0,9*0,85= 0,72675

2) произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃

т.е. будет выполнено условия либо только А₁, либо только А₂, либо только А₃, либо А₁ и А₂, либо А₁ и А₃, либо А₂ и А₃

в общем проще найти когда не будет выполнено ни одно из условий

т.е. не произойдет ни одно из событий = 0,05*0,1*0,15=0,00075

И тогда вероятность события

"произойдет хотя бы одно" = 1-0,00075=0,99925

3) произойдет только одно из событий A₁, A₂, A₃

Это значит произошло А₁ но не произошли А₂ и А₃ или

произошло А₂ но не произошли А₁ и А₃ или

произошло А₃ но не произошли А₂ и А₁

тогда

Вероятность = 0,95*0,1*0,15+0,9*0,05*0,15+0,85*0,05*0,1=

=0,01425+0,00675+0,00425=0,02525

Answer 2

Для нахождения вероятностей событий A, C и D, мы можем использовать определения вероятности и свойства вероятности событий. Важно отметить, что события A₁, A₂ и A₃ независимы, что означает, что вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

1. A - произойдут все события A₁, A₂, A₃: Вероятность того, что произойдут все события A₁, A₂, A₃, равна произведению их вероятностей: P(A) = P(A₁) * P(A₂) * P(A₃) = 0.95 * 0.9 * 0.85 = 0.72225

2. C - произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃: Для вычисления вероятности события C, мы можем воспользоваться дополнением: P(C) = 1 - P(не C), где "не C" означает, что ни одно из событий A₁, A₂, A₃ не произойдет. P(не C) = P(не A₁) * P(не A₂) * P(не A₃) P(не A₁) = 1 - P(A₁) = 1 - 0.95 = 0.05 P(не A₂) = 1 - P(A₂) = 1 - 0.9 = 0.1 P(не A₃) = 1 - P(A₃) = 1 - 0.85 = 0.15

   Теперь мы можем вычислить P(не C) и затем P(C): P(не C) = P(не A₁) * P(не A₂) * P(не A₃) = 0.05 * 0.1 * 0.15 = 0.00075 P(C) = 1 - P(не C) = 1 - 0.00075 = 0.99925

3. D - произойдет только одно из событий A₁, A₂, A₃: Для нахождения вероятности события D, мы можем рассмотреть случаи, когда происходит только одно из событий A₁, A₂, A₃, и сложить вероятности этих случаев.

   P(D) = P(A₁) * P(не A₂) * P(не A₃) + P(не A₁) * P(A₂) * P(не A₃) + P(не A₁) * P(не A₂) * P(A₃)

   Вычислим каждое слагаемое: P(A₁) * P(не A₂) * P(не A₃) = 0.95 * 0.1 * 0.15 = 0.01425 P(не A₁) * P(A₂) * P(не A₃) = 0.05 * 0.9 * 0.15 = 0.00675 P(не A₁) * P(не A₂) * P(A₃) = 0.05 * 0.1 * 0.85 = 0.00425

   Теперь сложим их: P(D) = 0.01425 + 0.00675 + 0.00425 = 0.02525

Таким образом, вероятности событий A, C и D равны:

• P(A) = 0.72225
• P(C) = 0.99925
• P(D) = 0.02525