Question

Знайти площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 274 см, а діагональ дорівнює 97 см.

Answer 1

Ответ:

Ширина прямоугольника равна 65 см.

Длина прямоугольника равна 72 см.

Объяснение:

x — ширина прямоугольника (в см)

y — длина прямоугольника (в см)

Составляем систему:

$\left \{ {{2(x+y)=274} \atop {\sqrt{x^{2}+y^{2} } = 97}} \right.\\\\\left \{ {{2x+2y=274} \atop {x^{2} +y^{2} = 9409}} \right.$

2y = 274 - 2x

y = 137 - x

x² + (137 - x)² = 9 409

x² + x² - 274x + 18 769 = 9 409

2x² - 274x + 9 360 = 0

x² - 137x + 4 680 = 0

D = 18 769 - 18 720 = 49

x₁ = $\frac{137-7}{2}$ = 65

x₂ =  $\frac{137+7}{2}$ = 72

Answer 2

Давайте позначимо довжину прямокутника як "a" і ширину як "b". Ми знаємо, що периметр прямокутника обчислюється за формулою:

Периметр = 2a + 2b

За умовою завдання, периметр дорівнює 274 см:

2a + 2b = 274

Тепер ми також знаємо, що діагональ прямокутника утворює прямокутний трикутник зі сторонами a, b і діагоналлю. За теоремою Піфагора:

a^2 + b^2 = діагональ^2

a^2 + b^2 = 97^2

Тепер у нас є система двох рівнянь з двома невідомими:

1. 2a + 2b = 274
2. a^2 + b^2 = 97^2

Спростимо перше рівняння, поділивши обидва боки на 2:

a + b = 137

Тепер ми можемо використовувати методи розв'язання систем рівнянь для знаходження значень a і b. Можна вирішити цю систему рівнянь, наприклад, методом підстановки або методом відношень.

Один з можливих способів - використовувати рівняння a + b = 137 для виразу a як:

a = 137 - b

Після цього підставимо це значення a в друге рівняння:

(137 - b)^2 + b^2 = 97^2

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

137^2 - 2 * 137b + b^2 + b^2 = 97^2

Підсумовуємо подібні члени:

2b^2 - 2 * 137b + (137^2 - 97^2) = 0

Тепер ми отримали квадратне рівняння відносно b. Ми можемо використовувати квадратну формулу для знаходження b:

b = (-(-2 * 137) ± √(((-2 * 137)^2 - 4 * 2 * (137^2 - 97^2))) / (2 * 2)

b = (274 ± √((4 * 137^2 - 4 * (137^2 - 97^2))) / 4

b = (274 ± √(4 * 97^2)) / 4

b = (274 ± 2 * 97) / 4

b = (274 ± 194) / 4

Тепер маємо два можливих значення для b:

1. b = (274 + 194) / 4 = 468 / 4 = 117 см
2. b = (274 - 194) / 4 = 80 / 4 = 20 см

Тепер, коли ми знайшли значення b, ми можемо знайти значення a за допомогою першого рівняння:

a = 137 - b

1. a = 137 - 117 = 20 см
2. a = 137 - 20 = 117 см

Отже, маємо дві можливі комбінації довжин і ширини прямокутника:

1. a = 20 см, b = 117 см
2. a = 117 см, b = 20 см

Площа буде однаковою в обох випадках. Площа прямокутника обчислюється за формулою:

Площа = a * b

Отже, площа прямокутника буде:

1. Площа = 20 см * 117 см = 2340 см^2
2. Площа = 117 см * 20 см = 2340 см^2

Отже, площа прямокутника дорівнює 2340 квадратних сантиметрів у обох випадках.