Question

Решить уравнение 3cos^2 x + 7sinx – 5 = 0

Answer 1

$3Cos^{2}x+7Sinx-5=0\\\\3(1-Sin^{2}x)+7Sinx-5=0\\\\3-3Sin ^{2}x+7Sinx-5=0\\\\3Sin^{2}x-7Sinx+2=0\\\\Sinx=m \ ; \ -1\leq m \leq1\\\\3m^{2}-7m+2=0\\\\D=(-7)^{2}-4*3*2=49-24=25=5^{2}\\\\m_{1} =\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}\\\\m_{2} =\frac{7+5}{6}=2-neyd\\\\Sinx=\frac{1}{3}\\\\\boxed{x=(-1)^{n}arc Sin\frac{1}{3}+\pi n,n\in Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и замену переменных. В данном случае мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x), а также внести sin(x) вместе с 7 под одну общую переменную sin(x).

Исходное уравнение: $3\cos^2(x) + 7\sin(x) - 5 = 0$

Замена: $3(1 - \sin^2(x)) + 7\sin(x) - 5 = 0$

Теперь у нас есть уравнение только относительно sin(x): $3 - 3\sin^2(x) + 7\sin(x) - 5 = 0$

Подведем уравнение к квадратному виду относительно sin(x): $-3\sin^2(x) + 7\sin(x) - 2 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант (D) для определения количества и типа корней: $D = b^2 - 4ac$ где a = -3, b = 7, и c = -2.

Вычисляем D: $D = 7^2 - 4(-3)(-2) = 49 - 24 = 25$

D положительный, поэтому у нас есть два действительных корня.

Теперь используем квадратное уравнение: $\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставляем значения: $\sin(x) = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2(-3)}$ $\sin(x) = \frac{-7 \pm 5}{-6}$

Теперь рассмотрим два случая, когда sin(x) равно:

1. $\sin(x) = \frac{-7 + 5}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
2. $\sin(x) = \frac{-7 - 5}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$

Однако второе уравнение не имеет решений, так как sin(x) не может быть больше 1 по определению. Таким образом, у нас есть только одно действительное решение для sin(x): $\sin(x) = \frac{1}{3}$

Чтобы найти значения x, мы можем воспользоваться обратной функцией синуса (арксинусом). В диапазоне [-π/2, π/2], sin(x) равен 1/3, и его арксинус равен arcsin(1/3). Таким образом: $x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$

Итак, ответ: $x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$