Question

Найдите площадь фигуры , ограниченной линиями: y= 2x^2 y= 3-x^2

Answer 1

Объяснение:

$y=2x^2\ \ \ \ y=3-x^2\ \ \ \ S=?\\2x^2=3-x^2\\3x^2=3\ |:3\\x^2=1\\x_1=-1 \ \ \ \ x_2=1.\\S=\int\limits^1_{-1} {(3-x^2-3x^2)} \, dx =\int\limits^1_{-1} {(3-3x^2)} \, dx =(3x-x^3)\ |_{-1}^1=\\=3*1-1^3-(3*(-1)-(-1)^3)=3-1-(-3+1)=2-(-2)=2+2=4.$

Ответ: S=4 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x^2 и y = 3 - x^2, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл от разности этих двух функций в пределах этих точек.

1. Начнем с поиска точек пересечения этих двух функций. Установим равенство между ними:

2x^2 = 3 - x^2

3x^2 = 3

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = -1 и x = 1.

2. Теперь найдем соответствующие значения y для каждой из этих точек, используя уравнения y = 2x^2 и y = 3 - x^2:

• При x = -1: y = 2(-1)^2 = 2

• При x = 1: y = 2(1)^2 = 2

Теперь у нас есть две точки пересечения: (-1, 2) и (1, 2).

3. Площадь фигуры между этими двумя кривыми можно найти как разницу между интегралами двух функций в пределах этих точек. Интеграл будет браться по x от -1 до 1:

S = ∫[from -1 to 1] (2x^2 - (3 - x^2)) dx

S = ∫[from -1 to 1] (3x^2 - 3) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = [x^3 - 3x] (from -1 to 1)

S = (1^3 - 31) - ((-1)^3 - 3(-1))

S = (1 - 3) - (-1 + 3)

S = -2 + 2

S = 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x^2 и y = 3 - x^2, равна 0.