Question

Периметр прямокутника доврiвнюе 82 см а його дiагональ дорiвнюе 29 см. Знайти площу прямокутника.

Answer 1

Решение:

Пусть х - одна первая прямоугольника, а у - вторая.

Периметр равен 82 см, имеем:

$2(x+y) = 82\\\\x + y = 41$

Диагональ нашего прямоугольника - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами. За теоремой Пифагора имеем:

$x^2 + y^2 = 29^2$

Получили систему:

$\left \{ {{x+y = 41} \atop {x^2 + y^2 = 29^2}} \right. \left \{ {{x = 41-y} \atop {(41-y)^2+y^2=841}} \right. \left \{ {{x = 41-y} \atop {(41-y)^2+y^2=841}} \right. \left \{ {{x = 41-y} \atop {1681-82x+y^2+y^2=841}} \right.$

$\left \{ {{x = 41-y} \atop {2y^2-82x+840=0}} \right. \left \{ {{x = 41-y} \atop {y^2-41x+420=0}} \right.$

$></p> <p>Т.к. x = 41 - y, получаем:</p> <p><img src=$

Получается, что меньшая сторона прямоугольника равна 20 см, а большая - 21 см. Отсюда:

S = 20 * 21 = 420 см^2

Answer 2

Давайте позначимо довжину прямокутника через $a$ і ширину через $b$. Тоді маємо два рівняння, що відображають дані задачі:

1. Периметр прямокутника: $2a + 2b = 82$
2. Діагональ прямокутника: $d = 29$

Ми також можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження відношення між $a$, $b$ і $d$:

$d^2 = a^2 + b^2$

Ми маємо дві рівності з трьома невідомими, тому давайте розв'яжемо цю систему рівнянь.

1. З рівняння периметра отримаємо: $a + b = 41$ (поділимо обидві сторони на 2).
2. Використовуючи це значення виразимо $b$ через $a$: $b = 41 - a$.
3. Підставимо $b$ в рівняння Піфагора: $29^2 = a^2 + (41 - a)^2$.
4. Розв'яжемо отримане квадратне рівняння для $a$.
5. Знайдемо значення $b$ використовуючи вираз $b = 41 - a$.
6. Знайдемо площу прямокутника за формулою: $Площа = a \cdot b$.

Після розв'язання цих кроків ми отримаємо значення для довжини та ширини прямокутника, а потім можемо знайти його площу.