Question

Найти значение производной f(x)=2xcosx; x0=0.

Answer 1

Решение:

f(x) = 2x × cosx при x = 0

Сначала мы воспользуемся правилом дифференцирование и потом производные элементарных функций:

f'(x) = (2x × cosx)' = (2x)'×cosx + (cosx)'×2x = 2(x)'×cosx + (-sinx)×2x = 2 × 1 × cosx - sinx × 2x = 2cosx - sinx × 2x

Теперь мы находим его значение в точке x = 0:

f'(0) = 2×cos(0) - sin(0)×2×0 = 2×1-0×2×0 = 2-0 = 2

Ответ: f'(0) = 2

Answer 2

Чтобы найти значение производной функции f(x) = 2x * cos(x) в точке x0 = 0, мы можем использовать определение производной:

f'(x0) = lim (h -> 0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

В данном случае: x0 = 0 f(x) = 2x * cos(x)

Теперь давайте вычислим производную:

f'(x) = 2 * (x * cos(x))' (производная произведения) f'(x) = 2 * (x' * cos(x) + x * (cos(x))') (применение правила производной произведения) f'(x) = 2 * (1 * cos(x) + x * (-sin(x))) (производные x и cos(x)) f'(x) = 2 * (cos(x) - x * sin(x))

Теперь мы можем вычислить значение производной в точке x0 = 0:

f'(0) = 2 * (cos(0) - 0 * sin(0)) f'(0) = 2 * (1 - 0 * 0) f'(0) = 2 * 1 f'(0) = 2

Таким образом, значение производной функции f(x) = 2x * cos(x) в точке x0 = 0 равно 2.