Question

Алгебра. 30 баллов. Решите неравенство с помощью графика квадратичной функции. а) 4х2-х-3 >0 , б) 25у2-10у+1 ≤0 .

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ 4x^2-x-3>0\ \ ,\\\\4x^2-x-3=0\ \ ,\ \ x_1=-\dfrac{3}{4}\ ,\ \ x_2=1\\\\\boxed{\ x\in (-\infty ;-0,75)\cup (\ 1\ ;+\infty \, )\ }$

$b)\ \ 25y^2-10y+1\leq 0\ \ ,\\\\\star \ x=25y^2-10y+1\ \ ,\ \ 25y^2-10y+1=0\ \ \ \Rightarrow \\\\(5y-1)^2=0\ \ ,\ \ y=\dfrac{1}{5}\ \ ,\ \ y=0,2\ \star \\\\x\leq 0\ \ , esli\ \ \ \boxed{\ y=0,2\ }$

Answer 2

Для решения неравенств с помощью графика квадратичной функции, мы сначала строим графики соответствующих квадратичных функций и затем находим области, где функции больше нуля или меньше или равны нулю.

а) Неравенство 4x^2 - x - 3 > 0:

Для начала, давайте построим график функции f(x) = 4x^2 - x - 3:

Это квадратичная функция, и ее график будет параболой. Парабола будет открываться вверх, так как коэффициент при x^2 положителен (4 > 0). Для нахождения корней уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

a = 4, b = -1, c = -3

D = (-1)^2 - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49

D > 0, следовательно, у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-1) + √49) / (2 * 4) = (1 + 7) / 8 = 8/8 = 1 x2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-1) - √49) / (2 * 4) = (1 - 7) / 8 = -6/8 = -3/4

Таким образом, корни уравнения равны x1 = 1 и x2 = -3/4.

Теперь мы можем определить знак функции на разных интервалах:

1. Если x < -3/4, то оба слагаемых 4x^2 и -x положительны, а -3 отрицательно. Следовательно, функция больше нуля.
2. Если -3/4 < x < 1, то первое слагаемое 4x^2 положительно, второе -x отрицательно, и -3 отрицательно. Следовательно, функция меньше нуля.
3. Если x > 1, то оба слагаемых 4x^2 и -x положительны, а -3 отрицательно. Следовательно, функция больше нуля.

Таким образом, решение неравенства 4x^2 - x - 3 > 0:

x < -3/4 или x > 1.

б) Неравенство 25y^2 - 10y + 1 ≤ 0:

Давайте построим график функции g(y) = 25y^2 - 10y + 1:

Это также квадратичная функция, и ее график также будет па