Question

Y dx + (2√xy - x) dy=0 найти общее решение дифференциального уравнения​

Answer 1

dy/dx=y`

y`=–y/(2√xy–x)

Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:

y`=(y/x)/(2√x/y–1)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x·u

y`=x`·u+x·u`

x`=1

y`=u+x·u`

u+xu`=–(xu)/(2√x·ux–x)

Это уравнение с разделяющимися переменными

не нравится.

Громоздко.

Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:


dx/dy=x`

y·x`=–2√xy+x

x`=–2√x/y+(x/y)

Замена лучше так:

x/y=u

x=u·y

x`=u`·y+u·y` ( y`=1)

x`=u`·y+u

тогда

u`·y+u=–2√u+(u)




u`·y=–2√u – уравнение с разделяющимися переменными

y·du=–2√udy

du/2√u=–dy/y

Интегрируем:

∫ du/2√u=– ∫ dy/y

√u=–lny+c

или вместо c лучше написать lnC

√u=–lny+lnC


√u=ln(C/y)

C/y=e^(√u

u=x/y


С/у=e√x/y – общее решение

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения Y dx + (2√xy - x) dy = 0, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

1. Сначала перепишем уравнение в следующем виде:

Y dx - x dy + 2√xy dy = 0

2. Теперь разделим переменные, перемещая все слагаемые, содержащие x, на одну сторону уравнения, а все слагаемые, содержащие y, на другую сторону:

Y dx - x dy = -2√xy dy

3. Теперь разделим обе стороны на соответствующие выражения:

(Y dx - x dy) / (√xy) = -2 dy

4. Разделим обе стороны на dx:

(Y dx - x dy) / (√xy)dx = -2 dy

5. Теперь можно проинтегрировать обе стороны. При интегрировании левой стороны мы получим частное от производной Якобиана, а справа получится -2y:

∫(Y dx - x dy) / (√xy)dx = ∫-2 dy

6. Рассмотрим левую сторону:

∫(Y dx - x dy) / (√xy)dx

Мы видим, что это уравнение в полных дифференциалах. Для нахождения Якобиана, мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя. Попробуем найти такой множитель μ(x, y), чтобы уравнение стало точным:

μ(x, y)(Y dx - x dy) = μ(x, y)(2√xy dx - 2x dy)

Теперь найдем μ(x, y). Уравнение для нахождения μ имеет вид:

(∂(μ(Y),y) - ∂(μ(x),x)) / μ(x, y) = (∂(2√xy),y - ∂(2x,x)) / (2√xy)

Вычисляем производные:

(μ'(Y) - μ'(x)) / μ(x, y) = (2√xy / (2√xy) - 2 / (2√xy))

Упрощаем:

(μ'(Y) - μ'(x)) / μ(x, y) = 1 - 1/√xy

Теперь найдем μ, уравнение имеет вид:

(μ'(Y) - μ'(x)) / μ(x, y) = 1 - 1/√xy

Решение этого уравнения даст значение μ(x, y), которое позволит сделать левую часть уравнения в полных дифференциалах точной. Нахождение точного решения этого уравнения может быть сложным и требует интегрирования. После того, как найден μ(x, y), вы сможете решить уравнение и найти общее решение.