Question

20б Решите неравенства методом интервалов (х²-4)(х+6) меньше 0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

См фото

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство методом интервалов, мы начнем с нахождения корней уравнения $(x^2 - 4)(x + 6) = 0$.

1. Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$:

   $x^2 - 4 = 0$

   Это уравнение можно представить в виде разности квадратов и решить:

   $(x - 2)(x + 2) = 0$

   Значит, корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x = 2$ и $x = -2$.

2. Теперь решим уравнение $x + 6 = 0$, чтобы найти дополнительный корень:

   $x + 6 = 0$

   Это уравнение имеет корень $x = -6$.

Теперь у нас есть три корня: $x = -6$, $x = -2$ и $x = 2$. Мы можем использовать эти корни для разбиения числовой прямой на интервалы и определения знака выражения $(x^2 - 4)(x + 6)$ на каждом из этих интервалов.

Интервалы:

1. $(-\infty, -6)$
2. $(-6, -2)$
3. $(-2, 2)$
4. $(2, \infty)$

Теперь мы выбираем по одной точке из каждого интервала и подставляем их в выражение, чтобы определить его знак:

1. Для интервала $(-\infty, -6)$, выберем $x = -7$:

   $((-7)^2 - 4)(-7 + 6) = (49 - 4)(-1) = 45 \cdot (-1) = -45$

   Значит, на интервале $(-\infty, -6)$ выражение отрицательное.

2. Для интервала $(-6, -2)$, выберем $x = -4$:

   $((-4)^2 - 4)(-4 + 6) = (16 - 4)(2) = 12 \cdot 2 = 24$

   Значит, на интервале $(-6, -2)$ выражение положительное.

3. Для интервала $(-2, 2)$, выберем $x = 0$:

   $(0^2 - 4)(0 + 6) = (-4)(6) = -24$

   Значит, на интервале $(-2, 2)$ выражение отрицательное.

4. Для интервала $(2, \infty)$, выберем $x = 3$:

   $(3^2 - 4)(3 + 6) = (9 - 4)(9) = 5 \cdot 9 = 45$

   Значит, на интервале $(2, \infty)$ выражение положительное.

Теперь мы знаем, какое значение имеет выражение $(x^2 - 4)(x + 6)$ на каждом из интервалов. Неравенство $(x^2 - 4)(x + 6) < 0$ будет выполнено на интервалах, где оно отрицательное, то есть на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(-2, 2)$.

Таким образом, решение данного неравенства методом интервалов:

$x \in (-\infty, -6) \cup (-2, 2)$