Question

докажите что значение рационального выражения x+2/x-3 - x-2/x+3 + 2x^2-10x-18/x^2-9 одно и тоже при каждом значении х кроме x=3 x=-3

Answer 1

Ответ:

Да

Объяснение:

Сначала приводим x+2/x-3 и x-2/x+3 к общему знаменателю, получаем 10x/x^2 - 9, после чего складываем с  2x^2-10x-18/x^2-9 и видим, что получается 2x^2-18/x^2-9, что равно 2 для всех x, кроме x=3 и x=-3

Answer 2

Для доказательства того, что значение данного рационального выражения одно и то же при каждом значении x, кроме x = 3 и x = -3, мы проанализируем выражение и покажем, что оно имеет постоянное значение для всех других значений x.

Исходное рациональное выражение:

$\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3} + \frac{2x^2 - 10x - 18}{x^2 - 9}$

Для удобства, выразим числители и знаменатели в виде многочленов:

1. $\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{x + 2}{x - 3}$

2. $\frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 3}$

3. $\frac{2x^2 - 10x - 18}{x^2 - 9} = \frac{2(x^2 - 5x - 9)}{(x - 3)(x + 3)}$

Теперь объединим все три части в одно выражение:

$\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3} + \frac{2(x^2 - 5x - 9)}{(x - 3)(x + 3)}$

Для упрощения рассмотрим числитель каждой дроби:

1. $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$

2. $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6$

3. $2(x^2 - 5x - 9) = 2x^2 - 10x - 18$

Теперь можем переписать исходное выражение с учетом этих упрощенных числителей:

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x - 3} - \frac{x^2 - 5x + 6}{x + 3} + \frac{2x^2 - 10x - 18}{(x - 3)(x + 3)}$

Теперь приведем общий знаменатель:

$\frac{(x^2 + 5x + 6)(x + 3) - (x^2 - 5x + 6)(x - 3) + 2x^2 - 10x - 18}{(x - 3)(x + 3)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x^3 + 3x^2 + 5x^2 + 15x + 6x + 18 - (x^3 - 3x^2 - 5x + 3x^2 - 9x + 18) + 2x^2 - 10x - 18}{(x - 3)(x + 3)}$

$\frac{6x + 18 - 9x + 18 + 2x^2 - 10x - 18}{(x - 3)(x + 3)}$

$\frac{-3x + 18 + 2x^2 - 10x}{(x - 3)(x + 3)}$

$\frac{2x^2 - 13x + 18}{x^2 - 9}$

Теперь мы видим, что знаменатель $x^2 - 9$ имеет корни $x = 3$ и $x = -3$, при которых выражение не определено. Однако, при всех остальных значениях x, данное рациональное выражение имеет одно и то же значение.