Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= 2+х2 , у=4-х.​

Answer 1

Ответ:   4 1/2 кв. од .

Объяснение:   Спочатку потрібно побудувати графіки обох функцій:

це  буде парабола  і пряма ; межі інтегрування а = - 2 ; b = 1 . Маємо :

 S = ∫-¹₂ ( 4 -х - 2 -х² )dx  = ∫-¹₂ ( -x² - x + 2 )dx = ( - 1/3 x³ - 1/2 x² +

+ 2x )│-₂¹ = - 1/3 - 1/2 + 2 - [ - ( -2 )³/3 - ( - 2 )²/2 + 2 * ( - 2 )] = 1 1/6 + 3 1/3 =

= 4 1/2 ( кв. од ) .

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у = 2 + x^2 и у = 4 - x, нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить интеграл площади между этими точками. Пересечение линий будет определять границы интегрирования.

Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения у = 2 + x^2 и у = 4 - x:

2 + x^2 = 4 - x

Теперь решим это уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант (D) равен:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 1 и c = -2. Подставим значения:

D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант положителен, то у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2/2 = 1 x2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4/2 = -2

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = -2 и x = 1.

Для вычисления площади фигуры, мы можем взять интеграл от разности этих двух функций от x = -2 до x = 1:

Площадь = ∫[от -2 до 1] [(4 - x) - (2 + x^2)] dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[от -2 до 1] (4 - x - 2 - x^2) dx

Площадь = ∫[от -2 до 1] (2 - x - x^2) dx

Теперь возьмем интеграл:

Площадь = [2x - (x^2)/2 - (x^3)/3] от -2 до 1

Площадь = [2(1) - (1^2)/2 - (1^3)/3] - [2(-2) - ((-2)^2)/2 - ((-2)^3)/3]

Площадь = [2 - 1/2 - 1/3] - [-4 - 2 - 8/3]

Площадь = [6/6 - 3/6 - 2/6] - [-24/6 - 12/6 - 16/6]

Площадь = [1/6 - 3/6 - 2/6] - [-42/6]

Площадь = [-4/6] - [-42/6]

Площадь = -4/6 + 42/6

Площадь = 38/6

Площадь = 19/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 + x^2 и у = 4 - x, равна 19/3 или приближенно 6.33 единицам квадратных.