Question

Y"+y/x-1=1/(x-1)^2 помогите найти общее решение пожалуйста

Answer 1

Объяснение:

y'' = y' + x

Делаем замену y' = z(x). Тогда y'' = z'(x). Подставляя в исходное уравнение, получаем:

- x - z + z' = 0

Представим в виде:

- z + z' = x

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: z = u * v, z' = u' * v + u * v'.

-u * v + u * v' + u' * v = x

или

u( - v + v') + u' * v = x

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

1. u * ( - v + v') = 0

2. u'v = x

1. Приравниваем u=0, находим решение для:

- v + v' = 0

Представим в виде:

v' = v

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

(dv / v) = dx

Интегрируя, получаем:

ln(v) = x

v = ex

2. Зная v, Находим u из условия: u' * v = x

u' * ex = x

u' = x * e-x

Интегрируя, получаем:

u = C + (- x - 1) * e-x

Из условия z=u*v, получаем:

z = u * v = (C + ( - x - 1) * e -x) * ex

или

z = C * ex - x - 1.

Поскольку y'=z, то интегрируя, окончательно получаем:

y=C1 * ex - x2 / 2 - x + C2

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, как в данном случае, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала представим уравнение в стандартной форме:

Y'' + (y/x - 1) = 1/(x - 1)^2

Перепишем его так, чтобы коэффициент при Y'' был равен 1:

Y'' + (y/x - 1) = 1/(x - 1)^2

Y'' + (y/x) = 1/(x - 1)^2 + 1

Теперь представим общее решение в виде:

Y(x) = Y1(x) + Y2(x),

где Y1(x) - это частное решение однородной части уравнения (Y'' + (y/x) = 0), а Y2(x) - это частное решение неоднородной части уравнения (1/(x - 1)^2 + 1).

1. Начнем с поиска Y1(x) - решения однородной части уравнения:

Y'' + (y/x) = 0

Для упрощения этой части уравнения предположим, что Y1(x) = x^m (где m - константа), тогда:

Y1''(x) = m(m-1)x^(m-2)

Подставим это в уравнение:

m(m-1)x^(m-2) + (x/x) = 0

m(m-1)x^(m-2) + 1 = 0

m(m-1) = -1

m^2 - m + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

D = (-1)^2 - 411 = 1 - 4 = -3

Так как дискриминант отрицательный, то у нас есть комплексные корни:

m1 = (1 + i√3)/2 m2 = (1 - i√3)/2

Теперь общее решение однородной части уравнения будет иметь вид:

Y1(x) = c1x^(1/2)cos(√3ln(x)) + c2x^(1/2)sin(√3ln(x))

2. Теперь найдем частное решение Y2(x) для неоднородной части уравнения:

Y2(x) = (A/x + B)(x - 1)^2 + C

Y2''(x) = -2(A/x + B) + 2A/x^2

Подставим Y2(x) в исходное уравнение:

Y2''(x) + (Y2/x - 1) = 1/(x - 1)^2

-2(A/x + B) + 2A/x^2 + (A/x + B)/x - 1 = 1/(x - 1)^2

Для упрощения уравнения, умножим его на x^2:

-2Ax - 2Bx^2 + 2Ax + 2B - A - Bx = x^2/(x - 1)^2

Теперь упростим его:

2B - A - Bx = x^2/(x - 1)^2

Подставим x = 1 в уравнение:

2B - A - B = 1/0

2B - A = ∞

Так как уравнение становится неопределенным при x = 1, то можно утверждать, что B = 0. Тогда:

-A = ∞

A = -∞

Теперь у нас есть:

Y2(x) = (-∞/x) * (x - 1)^2 + C

Y2(x) = -∞ * (x - 1)^2 + C

Теперь общее решение уравнения будет иметь вид:

Y(x) = Y1(x) + Y2(x) = c1x^(1/2)cos(√3ln(x)) + c2x^(1/2)sin(√3ln(x)) - ∞ * (x - 1)^2 + C

Где c1, c2 и C - произвольные постоянные.