Question

Вариант 4. Исследовать совместность системы линейных алгебраических уравнений. Найти:1)общее решение системы методом Гаусса;2)общее решение системы,записав для соответствующей однородной системы фундаментальную (основную) систему решений и частное решение исходной системы.

Answer 1

{ 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 2
{ 6x1 - 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3
{ 9x1 - 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем со 2 уравнением
Умножаем 1 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением
{ 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 2
{ 0x1 + 0x2 -6x3 + x4 = -1
{ 0x1 + 0x2 -12x3 - x4 = -2
Умножаем 2 уравнение на -2 и складываем с 3 уравнением
{ 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 2
{ 0x1 + 0x2 -6x3 + x4 = -1
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 - 3x4 = 0
Из 3 уравнения x4 = 0, подставляем во 2 уравнение:
-6x3 + 0 = -1; x3 = 1/6
Подставляем в 1 уравнение
{ 3x1 - 2x2 + 5/6 + 0 = 2
3x1 - 2x2 = 2 - 5/6 = 7/6

Общее решение:
x1 может быть любым
x2 = (3x1 - 7/6) / 2 = (18x1 - 7)/12
x3 = 1/6
x4 = 0
Чем отличается общее решение от фундаментального, я не знаю.
Частное решение:
x1 = 1; x2 = 11/12; x3 = 1/16; x4 = 0

Answer 2

Совместность системы линейных алгебраических уравнений

Для исследования совместности системы линейных алгебраических уравнений, нам необходимо рассмотреть матрицу коэффициентов системы и привести ее к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса.

Общее решение системы методом Гаусса

Для нахождения общего решения системы методом Гаусса, приведем матрицу коэффициентов системы к ступенчатому виду и решим полученную систему уравнений.

Шаг 1: Запишем систему линейных алгебраических уравнений:

1) x1 + 2x2 - 3x3 + 4x4 = 0
2) 2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4 = 0
3) 3x1 + 4x2 - 5x3 + 6x4 = 0
4) 4x1 + 5x2 - 6x3 + 7x4 = 0

Шаг 2: Приведем матрицу коэффициентов системы к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса:

1  2  -3  4  |  0
0  -1  2  -3 |  0
0  0   0   0  |  0
0  0   0   0  |  0

Шаг 3: Решим полученную систему уравнений:

x1 = -2x2 + 3x3 - 4x4
x2 = x2
x3 = 2x2 - 3x3 + 4x4
x4 = x4

Таким образом, общее решение системы методом Гаусса будет иметь вид:

x1 = -2x2 + 3x3 - 4x4
x2 = x2
x3 = 2x2 - 3x3 + 4x4
x4 = x4

Общее решение системы исходной системы

Для нахождения общего решения системы, мы должны записать фундаментальную (основную) систему решений для соответствующей однородной системы и добавить частное решение исходной системы.

Шаг 1: Запишем фундаментальную (основную) систему решений для соответствующей однородной системы:

x1 = 2x2 - (1/3)x4
x2 ∈ R
x3 = -(4/3)x4
x4 ∈ R

Шаг 2: Добавим частное решение исходной системы:

x1 = 2x2 - (1/3)x4
x2 ∈ R
x3 = -(4/3)x4
x4 ∈ R

Таким образом, общее решение системы будет иметь вид:

x1 = C1 * (2, 1, 0, 0) + C2 * (-1/3, 0, -4/3, 1)
x2 ∈ R
x3 = C1 * (2, 1, 0, 0) + C2 * (-1/3, 0, -4/3, 1)
x4 ∈ R

где C1 и C2 - произвольные константы.

Примечание

Для подробной информации о решении данной системы линейных алгебраических уравнений, рекомендуется обратиться к источникам и