Question

Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' +(y')² = 2e^(-y)

Answer 1

Смотрите на рисунок.

Answer 2

Давайте найдем общее решение данного дифференциального уравнения. Уравнение имеет вид:

y'' + (y')² = 2e^(-y)

Здесь y'' обозначает вторую производную функции y(x) по x, а y' обозначает первую производную. Давайте введем замену для упрощения уравнения. Пусть z = y', тогда y'' = z' (производная z по x).

Теперь мы можем переписать уравнение:

z' + z² = 2e^(-y)

Умножим обе стороны на e^y:

e^y * z' + e^y * z² = 2

Теперь это уравнение можно рассматривать как уравнение Бернулли. Для решения уравнения Бернулли, давайте введем замену w = e^y:

w' + z²w = 2

Теперь это стандартное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Давайте найдем его решение. Сначала найдем общее решение для z(x), а затем воспользуемся заменой, чтобы найти y(x).

Общее решение для z(x):

z' + z² = 2

Для уравнения z' + z² = 2 мы можем воспользоваться методом разделения переменных:

dz / (z² - 2) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (z² - 2)) dz = ∫dx

Для интеграла на левой стороне, можно воспользоваться частными дробями:

∫(1 / (z² - 2)) dz = ∫[(1 / (√2)) / (z - √2) - (1 / (√2)) / (z + √2)] dz

Теперь интегрируем обе части:

(1 / √2) * ln|z - √2| - (1 / √2) * ln|z + √2| = x + C

Теперь объединим логарифмы:

(1 / √2) * ln|(z - √2) / (z + √2)| = x + C

Теперь возвратимся к исходной замене z = y':

ln|(y' - √2) / (y' + √2)| = √2x + C

Теперь давайте уберем логарифм, возводя обе стороны в экспоненту:

|(y' - √2) / (y' + √2)| = e^(√2x + C)

Поскольку e^C - это произвольная константа, давайте обозначим ее как K:

|(y' - √2) / (y' + √2)| = K * e^(√2x)

Теперь у нас есть уравнение с абсолютными значениями, которое можно разбить на два случая:

1. (y' - √2) / (y' + √2) = K * e^(√2x)
2. (y' - √2) / (y' + √2) = -K * e^(√2x)

Решим каждый из них отдельно.

Для случая 1:

(y' - √2) / (y' + √2) = K * e^(√2x)

Раскроем абсолютное значение:

(y' - √2) / (y' + √2) = K * e^(√2x)

(y' - √2) = K * e^(√2x) * (y' + √2)

y' - √2 = K * e^(√2x) * y' + √2K * e^(√2x)

Теперь выразим y' и разделим на (1 - K * e^(√2x)):

y' (1 - K * e^(√2x)) = √2 (1 + K * e^(√2x))

y' = (√2 * (1 + K * e^(√2x))) / (1 - K * e^(√2x))

Теперь можем проинтегрировать y':

∫(1 / y') dy = ∫[1 / ((√2 * (1 + K * e^(√2x))) / (1 - K * e^(√2x)))] dx

∫(1 / y') dy = ∫[(1 - K * e^(√2x)) / (√2 * (1 + K * e^(√2x)))] dx

Интегрируя обе стороны, получим:

ln|y'| = ∫[(1 - K * e^(√2x)) / (√2 * (1 + K * e^(√2x)))] dx + C

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

y' = e^(∫[(1 - K * e^(√2x)) / (√2 * (1 + K * e^(√2x)))] dx + C)

Это уравнение можно решить численно или с помощью компьютерных программ.

Далее, после решения y', вы можете проинтегрировать еще раз, чтобы найти y(x):

y(x) = ∫e^(∫[(1 - K * e^(√2x)) / (√2 * (1 + K * e^(√2x)))] dx + C) dx

Обратите внимание, что в данном уравнении K - это произвольная константа, и её значение зависит от начальных условий задачи.