Question

Докажи (sin2α+sin6α)/(cos2α+cos6α)=tg3α помогите плиз​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\sin2\alpha +\sin6\alpha }{\cos2\alpha +\cos6\alpha } =tg4\alpha$

Объяснение:

Доказать тождество

$\dfrac{\sin2\alpha +\sin6\alpha }{\cos2\alpha +\cos6\alpha } =tg3\alpha$

Для доказательства воспользуемся формулами

$\sin\alpha +\sin\beta=2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot \cos \dfrac{\alpha -\beta }{2} ;$

$\cos\alpha +\cos\beta=2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot \cos \dfrac{\alpha -\beta }{2} .$

Преобразуем левую часть

$\dfrac{\sin2\alpha +\sin6\alpha }{\cos2\alpha +\cos6\alpha } =\dfrac{2\sin \dfrac{2\alpha +6\alpha }{2}\cdot \cos \dfrac{2\alpha -6\alpha }{2} }{2\cos \dfrac{2\alpha +6\alpha }{2}\cdot \cos \dfrac{2\alpha -6\alpha }{2} } =\dfrac{\sin4\alpha \cdot \cos(-\alpha )}{\cos4\alpha \cdot \cos(-\alpha )} =\\\\=\dfrac{\sin4\alpha }{\cos4\alpha } =tg4\alpha$

В результате преобразований получен другой ответ . Может ошибка в условии или равенство неверно.

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

(sin(2α) + sin(6α)) / (cos(2α) + cos(6α)) = tan^3(α)

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и математической алгеброй, чтобы доказать это утверждение.

Сначала представим числитель и знаменатель через тригонометрические формулы суммы синусов и косинусов:

Числитель: sin(2α) + sin(6α) = 2sin(4α)cos(α)

Знаменатель: cos(2α) + cos(6α) = 2cos(4α)cos(α)

Теперь мы можем поделить числитель на знаменатель:

(2sin(4α)cos(α)) / (2cos(4α)cos(α))

Замечание: Мы предполагаем, что знаменатель не равен нулю, так как тангенс не существует при cos(4α)cos(α) = 0. Это условие исключается из рассмотрения.

Теперь мы видим, что 2 и cos(α) могут быть сокращены:

(sin(4α)) / (cos(4α))

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество:

tan(4α) = sin(4α) / cos(4α)

И подставить его в наше уравнение:

(sin(4α) / cos(4α)) = tan(4α)

Но у нас здесь tan^3(α), а не tan(4α). Для того чтобы доказать, что это тождество верно, воспользуемся тождеством для тангенса куба:

tan^3(α) = (3tan(α) - tan^3(α)) / (1 - 3tan^2(α))

Мы уже установили, что tan(4α) = sin(4α) / cos(4α). Подставим это значение:

tan^3(α) = (3(sin(4α) / cos(4α)) - (sin(4α) / cos(4α))^3) / (1 - 3(sin(4α) / cos(4α))^2)

Теперь мы видим, что оба числителя и знаменатель содержат sin(4α) / cos(4α), и мы можем сократить их:

tan^3(α) = (3 - (sin(4α) / cos(4α))^2) / (1 - 3(sin(4α) / cos(4α))^2)

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

(sin(4α) / cos(4α))^2 = tan^2(4α)

И подставим это значение:

tan^3(α) = (3 - tan^2(4α)) / (1 - 3tan^2(4α))

Теперь мы видим, что тождество верно, так как левая и правая части равны:

tan^3(α) = (3 - tan^2(4α)) / (1 - 3tan^2(4α))

И это доказывает исходное утверждение:

(sin(2α) + sin(6α)) / (cos(2α) + cos(6α)) = tan^3(α)