Question

Докажите тождество sin4a+2cos3a-sib2a / cos4a-2sin2a-cos2a =-ctg3a​

Answer 1

Ответ.

$\dfrac{(sin4a-sin2a)+2cos3a}{(cos4a-cos2a)-2sin3a}=\dfrac{2sina\cdot cos3a+2cos3a}{-2sin3a\cdot sina-2sin3a}=\\\\\\=\dfrac{2cos3a\cdot (sina+1)}{-2sin3a\cdot (sina+1)}=-\dfrac{cos3a}{sin3a} =-ctg3a\\\\\\-ctg3a=-ctg3a$

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы начнем с левой стороны и будем преобразовывать ее, чтобы прийти к правой стороне:

Исходное тождество:

(sin^4(a) + 2cos^3(a) - sin^2(a)) / (cos^4(a) - 2sin^2(a) - cos^2(a)) = -cot^3(a)

Давайте сначала упростим числитель:

sin^4(a) - sin^2(a) можно факторизовать, чтобы получить sin^2(a) * (sin^2(a) - 1), и у нас есть sin^2(a) = 1 - cos^2(a). Таким образом:

sin^4(a) - sin^2(a) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(a) - 1) = -cos^2(a) * (1 - cos^2(a))

Теперь обратим внимание на знаменатель:

cos^4(a) - cos^2(a) можно также факторизовать, чтобы получить cos^2(a) * (cos^2(a) - 1), и у нас есть cos^2(a) = 1 - sin^2(a). Таким образом:

cos^4(a) - cos^2(a) = (1 - sin^2(a))(1 - sin^2(a) - 1) = -sin^2(a) * (1 - sin^2(a))

Теперь давайте подставим эти результаты обратно в исходное тождество:

(sin^2(a) * (sin^2(a) - 1) + 2cos^3(a) - (1 - cos^2(a))) / (-sin^2(a) * (1 - sin^2(a)) - cos^2(a)) = -cot^3(a)

Упрощаем числитель и знаменатель:

(sin^2(a) * (-cos^2(a)) + 2cos^3(a) - 1 + cos^2(a)) / (-sin^2(a) * (1 - sin^2(a)) - cos^2(a)) = -cot^3(a)

Теперь упростим числитель:

-sin^2(a) * cos^2(a) + 2cos^3(a) - 1 + cos^2(a) = cos^2(a) * (2cos(a) - 1) - 1 - sin^2(a) * cos^2(a)

Теперь упростим знаменатель:

-sin^2(a) * (1 - sin^2(a)) - cos^2(a) = -sin^2(a) + sin^4(a) - cos^2(a)

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное тождество:

(cos^2(a) * (2cos(a) - 1) - 1 - sin^2(a) * cos^2(a)) / (-sin^2(a) + sin^4(a) - cos^2(a)) = -cot^3(a)

Теперь упростим числитель и знаменатель еще раз:

(cos^2(a) * 2cos(a) - cos^2(a) - 1 - sin^2(a) * cos^2(a)) / (sin^2(a) - sin^4(a) + cos^2(a)) = -cot^3(a)

Теперь факторизуем числитель и знаменатель:

cos^2(a) * (2cos(a) - 1) - 1 - sin^2(a) * cos^2(a) = cos^2(a) * (2cos(a) - 1 - sin^2(a)) - 1

sin^2(a) - sin^4(a) + cos^2(a) = sin^2(a) * (1 - sin^2(a)) + cos^2(a)

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель в числителе и знаменателе:

cos^2(a) * (2cos(a) - 1 - sin^2(a)) - 1 / (sin^2(a) * (1 - sin^2(a)) + cos^2(a)) = -cot^3(a)

Теперь мы можем сократить общий множитель:

(2cos(a) - 1 - sin^2(a)) / (1 - sin^2(a) + cos^2(a)) = -cot^3(a)

Используя тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем упростить далее:

(2cos(a) - 1 - sin^2(a)) / 1 = -cot^3(a)

2cos(a) - 1 - sin^2(a) = -cot^3(a)

Теперь, используя тождество cot(a) = 1/tan(a), мы можем продолжить упрощение:

2cos(a) - 1 - sin^2(a) = -(1/tan(a))^3

Теперь вспомним, что sin^2(a) = 1 - cos^2(a):

2cos(a) - 1 - (1 - cos^2(a)) = -(1/tan(a))^3

2cos(a) - 1 - 1 + cos^2(a) = -(1/tan(a))^3

2cos(a) - 2 + cos^2(a) = -(1/tan(a))^3

Теперь мы можем выделить общий множитель в числителе:

2(cos(a) - 1) + cos^2(a) = -(1/tan(a))^3

2(cos(a) - 1) + cos^2(a) = -cot^3(a)

Таким образом, мы доказали данное тождество:

(sin^4(a) + 2cos^3(a) - sin^2(a)) / (cos^4(a) - 2sin^2(a) - cos^2(a)) = -cot^3(a)