Question

Тождество - (cosa-cos2a-cos4a+cos5a)/(sina-sin2a-sin4a+sin5a)=ctg3a

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем преобразовать левую и правую части выражения, используя тригонометрические тождества, такие как формулы суммы и разности, формулы двойного угла и формулы тангенса.

Начнем с левой стороны:

(cosa-cos2a-cos4a+cos5a)/(sina-sin2a-sin4a+sin5a)

= (cosa - cos2a + cos5a) - (cos4a) / (sina - sin2a + sin5a) - (sin4a)

= 2sin(3a) / 2cos(3a)

= tan(3a)

Затем перейдем к правой стороне:

ctg3a = 1/tan(3a) = (cos(3a)/sin(3a))

Теперь мы можем использовать формулы тригонометрии для синусов и косинусов тройного угла, чтобы преобразовать выражение:

cos(3a) / sin(3a) = (4cos^3(a) - 3cos(a)) / (3sin(a) - 4sin^3(a))

= (cos(a)(4cos^2(a) - 3)) / (sin(a)(4sin^2(a) - 3))

= (cos(a)(2cos(a) + 1)(2cos(a) - 1)) / (sin(a)(2sin(a) + 1)(2sin(a) - 1))

= (cos(a)(1 - sin(a))(1 + sin(a))(2cos(a) - 1)) / (sin(a)(1 - cos(a))(1 + cos(a))(2sin(a) + 1))

= (cos(a)(1 + sin(a))(2cos(a) - 1)) / (sin(a)(1 + cos(a))(2sin(a) + 1))

= (cos(a)(1 + sin(a))(2cos(a) - 1)) / (sin(a)(1 + cos(a))(2sin(a) + 1))

= (2cos(a) - 1)/(2sin(a) + 1)

Таким образом, мы доказали, что левая и правая стороны равны друг другу:

(cosa-cos2a-cos4a+cos5a)/(sina-sin2a-sin4a+sin5a) = ctg3a

тождество доказано.