Question

Докажите равенство cos15⁰cos25⁰ + cos105⁰cos115⁰ = cos10⁰пожалуйста прямо сейчас нужен ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

cos15⁰cos25⁰ + cos105⁰cos115⁰ = cos10⁰

cos15⁰cos25⁰ + cos(90+15⁰)cos(90+25⁰) = cos15⁰cos25⁰ -sin15°*(-sin(25°)=

cos15⁰cos25⁰ +sin15°sin25°=cos(15°-25°)=cos(-10°)=cos10°

Answer 2

Конечно, давайте докажем это равенство, используя тригонометрические тождества.

Исходное равенство:

$\cos(15^\circ) \cos(25^\circ) + \cos(105^\circ) \cos(115^\circ) = \cos(10^\circ)$

Мы можем воспользоваться формулой для произведения двух косинусов:

$\cos(A) \cos(B) = \frac{1}{2} (\cos(A + B) + \cos(A - B))$

Применим эту формулу к обоим частям исходного равенства:

$\frac{1}{2} (\cos(15^\circ + 25^\circ) + \cos(15^\circ - 25^\circ)) + \frac{1}{2} (\cos(105^\circ + 115^\circ) + \cos(105^\circ - 115^\circ)) = \cos(10^\circ)$

Раскроем скобки:

$\frac{1}{2} (\cos(40^\circ) + \cos(-10^\circ)) + \frac{1}{2} (\cos(220^\circ) + \cos(-10^\circ)) = \cos(10^\circ)$

Теперь заметим, что $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, следовательно:

$\frac{1}{2} (\cos(40^\circ) + \cos(10^\circ)) + \frac{1}{2} (\cos(220^\circ) + \cos(10^\circ)) = \cos(10^\circ)$

Рассмотрим теперь углы $40^\circ$ и $220^\circ$. Они являются смежными углами в четвертой четверти и имеют одинаковые косинусы по модулю, но разные знаки. Таким образом, их косинусы компенсируют друг друга:

$\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \cos(10^\circ)$

Таким образом, левая часть равенства также равна $0$, что соответствует правой части ($\cos(10^\circ)$). Следовательно, исходное равенство подтверждено.