Question

Найдите наименьшее целое положительное число n, такое что An=1+11+111+⋯+1…1 (последнее слагаемое содержит n единиц) делится на 45.

Answer 1

Ответ:

45

Объяснение:

А будет кратен 5, только если n кратен 5.

Тоже самое и с 9.

Так как наименьшим общим делимым будет 45, то ответ 45.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим сумму:

$A_n = 1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace{1\ldots 1}_{n \text{ единиц}}$

Эта сумма может быть записана в следующем виде:

$A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9}$

Давайте рассмотрим это в контексте модульной арифметики. Мы хотим, чтобы $A_n$ делилась на 45, поэтому мы можем записать:

$A_n \equiv 0 \pmod{45}$

Теперь давайте рассмотрим члены этой суммы по модулю 45:

$\frac{10^k - 1}{9} \equiv 0 \pmod{45}$

Умножим обе стороны на 9:

$10^k - 1 \equiv 0 \pmod{405}$

Теперь, если $10^k - 1 \equiv 0 \pmod{405}$, то сразу следует, что $10^k - 1$ делится и на 9, и на 5. Мы можем разложить 405 на простые множители:

$405 = 3^4 \times 5$

Таким образом, мы хотим, чтобы $10^k - 1$ делилось на $3^4$ и на 5. Рассмотрим теперь деление на 5:

$10^k - 1 \equiv 0 \pmod{5}$

Это верно, когда $k$ делится на 4 (когда мы берем степень 10, результат повторяется через каждые 4 степени). Таким образом, мы хотим, чтобы $k$ было кратным 4.

Теперь вернемся к делению на $3^4$. Это означает, что:

$10^k - 1 \equiv 0 \pmod{3^4}$

Это имеет решение, когда $k$ делится на 4. Таким образом, мы имеем два требования:

1. $k$ кратно 4 (из-за деления на 5).
2. $k$ кратно 4 (из-за деления на $3^4$).

Эти два требования совместимы. Таким образом, наименьшее положительное значение $k$, которое удовлетворяет обоим условиям, равно НОК(4, 4) = 4.

Теперь, наименьшее положительное число $n$, при котором $A_n$ делится на 45, равно $4 \times 4 = 16$.

Итак, ответ: $n = 16$.