Question

Найдите наименьшее целое положительное число n, такое что An=1+11+111+⋯+1…1 (последнее слагаемое содержит n единиц) делится на 45.

Answer 1

Ответ:

45

Объяснение:

А будет кратен 5, только если n кратен 5.

Тоже самое и с 9.

Так как наименьшим общим делимым будет 45, то ответ 45.

Answer 2

Неплохая задачка! Давайте рассмотрим последовательность чисел, представленных в виде суммы единиц:

$A_n = 1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace{1\dots1}_{n\text{ единиц}}$

Эту сумму можно представить как:

$A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9}$

Теперь мы хотим, чтобы $A_n$ было кратно 45. Это означает, что:

$\frac{A_n}{45} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1)$

Для того чтобы найти наименьшее $n$, при котором это число является целым, давайте посмотрим на остаток от деления каждого $(10^k - 1)$ на 9:

$10^k - 1 \equiv 0 \pmod{9}$

Это верно для любого $k$, так как $10^k \equiv 1 \pmod{9}$. Таким образом, все слагаемые $(10^k - 1)$ кратны 9.

Теперь давайте рассмотрим сумму:

$\sum_{k=1}^{n} (10^k - 1) \equiv \sum_{k=1}^{n} 0 \equiv 0 \pmod{9}$

Таким образом, чтобы $\frac{A_n}{45}$ было целым, $n$ должно быть таким, что $45$ делится на $\frac{1}{9}$, что не выполняется.

Следовательно, нет такого целого положительного числа $n$, при котором $A_n$ делится на 45.