Question

Доведіть тотожність (Докажите тождество) f′ (−1) + f′ (1) = −4f (0) , якщо (если) f (x) = x5 + x3 −2x −3. СРОЧНО! 30 баллов

Answer 1

f′ (−1) + f′ (1) = −4f (0) ,

якщо (если) f (x) = x5 + x3 −2x −3

f'(x) = 5x4 + 3x2 −2

f′ (1) = 5 + 3 - 2 = 6

f′ (-1) = 5 + 3 - 2 = 6

f(0) = 0 + 0 - 0 - 3 = -3

f′ (−1) + f′ (1) = 12 = -4*(-3) = -4*f(0) доказано

Answer 2

Для доведення даної тотожності ми спершу знайдемо похідні функції f(x), а потім підставимо їх в тотожність.

Спочатку знайдемо похідну функції f(x):

f(x) = x^5 + x^3 - 2x - 3

f'(x) = 5x^4 + 3x^2 - 2

Тепер знайдемо значення похідних в точках -1 і 1:

f'(-1) = 5*(-1)^4 + 3*(-1)^2 - 2 = 5 + 3 - 2 = 6 - 2 = 4 f'(1) = 51^4 + 31^2 - 2 = 5 + 3 - 2 = 6 - 2 = 4

Тепер підставимо ці значення в тотожність f′(−1) + f′(1) = −4f(0):

4 + 4 = -4f(0)

8 = -4f(0)

Тепер розв'яжемо рівняння відносно f(0):

f(0) = 8 / (-4)

f(0) = -2

Отже, отримане значення f(0) рівне -2, що підтверджує тотожність:

f′(−1) + f′(1) = −4f(0)

4 + 4 = -4(-2)

8 = 8

Таким чином, тотожність f′(−1) + f′(1) = −4f(0) виконується.