Question

В десятичной записи числа 2025 цифр: 2021 тройка и цифры 2,0,2,1 выписаны в произвольном порядке. Докажите, что число не может быть полным квадратом.

Answer 1

Запишем сумму цифр нашего числа в следующем виде:

$2021 \cdot 3 + 2 + 2 + 1 = 2021 \cdot 3 + 3 + 2 = 2022 \cdot 3 + \underline{2}$

Значит, наше число дает остаток $2$ при делении на $3$. А квадраты натуральных чисел могут давать только остатки $0$ и $1$ по модулю $3$.

В этом несложно убедиться, рассмотрев все классы чисел по модулю $3$ (то есть числа с остатком $0$; $1$; $2$ соответственно):

• $(3k)^2=3\cdot(3k^2) + \underline{0}$
• $(3k+1)^2=3\cdot(3k^2+2k) + \underline{1}$
• $(3k+2)^2=3\cdot(3k^2+4k+1) + \underline{1}$

Делаем вывод, что рассматриваемое число - точно не квадрат.

Answer 2

Давайте докажем, что число 2025 не может быть полным квадратом.

Чтобы число было полным квадратом, оно должно быть равно квадрату целого числа. Представим наше число 2025 как "ABCD", где A, B, C и D - цифры, выписанные в некотором порядке.

Чтобы число 2025 было полным квадратом, оно должно быть равно квадрату целого числа N:

2025 = N^2

Теперь посмотрим на остатки при делении числа на 4:

2025 ≡ 1 (mod 4)

Остаток при делении на 4 может быть только 0, 1, 2 или 3. В данном случае, остаток равен 1. Теперь рассмотрим остатки при делении квадрата N^2 на 4:

N^2 ≡ 0 (mod 4) или N^2 ≡ 1 (mod 4)

Если N^2 имеет остаток 0 при делении на 4, то N должно быть четным, так как только четные числа возводятся в квадрат и дают остаток 0 при делении на 4. Если N^2 имеет остаток 1 при делении на 4, то N должно быть нечетным.

Однако 2025 имеет остаток 1 при делении на 4, но оно не может быть равно квадрату ни одного целого числа, так как оно состоит из цифр 2, 0, 2 и 1, а квадрат целого числа всегда оканчивается на 0 или 1 при делении на 4. Таким образом, 2025 не является полным квадратом ни при каком выборе цифр A, B, C и D, и это доказывает наше утверждение.