Question

Задана функция y=(x²-2x+1)(x+3)/x-1. а) Найдите область определения функции (5 баллов). б) Постройте график функции (22 балла). В решении необходимо записать все необходимые шаги для построения графика функции.

Answer 1

Объяснение:

0=(x²-2x+1)•(x+3)/x-1

x=-3

Answer 2

Давайте начнем с того, чтобы найти область определения функции. Область определения - это множество всех значений x, для которых функция имеет смысл. Функция может иметь ограничения на x, чтобы избежать деления на ноль или других неопределенных операций.

а) Найдем область определения функции:

Функция y = (x² - 2x + 1)(x + 3)/(x - 1)

1. Заметим, что функция имеет два потенциальных ограничения:

   • Знаменатель не должен быть равен нулю (x - 1 ≠ 0).
   • Выражение внутри квадратных скобок (x² - 2x + 1) не должно быть равно нулю.

2. Решим первое ограничение: x - 1 ≠ 0 x ≠ 1

3. Решим второе ограничение: x² - 2x + 1 = 0 (x - 1)² = 0 x - 1 = 0 x = 1

Таким образом, областью определения функции является множество всех x, кроме x = 1. Она может быть записана как:

Область определения D: x ∈ ℝ, x ≠ 1

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса:

б) Постройте график функции.

Для построения графика функции, мы можем использовать следующие шаги:

1. Постройте графики компонентных частей функции, то есть y = (x² - 2x + 1) и y = (x + 3).

2. Определите, где эти графики пересекаются, и где они находятся в области определения функции (x ≠ 1).

3. Далее, умножьте значения y на обоих графиках, чтобы получить окончательный график функции y = (x² - 2x + 1)(x + 3)/(x - 1).

Давайте начнем с построения графиков компонентных частей функции:

a) График y = (x² - 2x + 1):

Это квадратное уравнение, которое имеет вершину в точке (1, 0), и оно всегда положительно. График будет выглядеть как парабола, пересекающая ось x в точке (1,0).

b) График y = (x + 3):

Это прямая линия с наклоном 45 градусов, пересекающая ось y при y = 3.

c) Область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 1 (как было определено ранее).

Теперь посмотрим, где они пересекаются и находятся в области определения. Важно помнить, что они не могут пересекаться при x = 1, так как это значение не входит в область определения.

Теперь умножьте значения y на обоих графиках и построим график функции:

• Для x < 1: Умножение положительных значений (парабола и прямая) дает положительные значения y.

• Для 1 < x: Умножение положительных значениях параболы на положительные значения прямой дает положительные значения y.

Таким образом, график функции будет положительным при x < 1 и x > 1, и она будет непрерывным на всей области определения, кроме точки x = 1.

Давайте построим график функции на плоскости.