Question

Помогите решить пожалуйста Косинус 2х -косинус х = 0 корень принадлежащий (0:3п/2) включительно

Answer 1

Ответ:

$cos2x-cosx=0\ \ ,\ \ \ \ x\in \Big(\ 0\ ;\ \dfrac{3\pi }{2}\ \Big)\\\\(2cos^2x-1)-cosx=0\\\\2cos^2x-cosx-1=0\\\\t=cosx\ \ ,\ \ -1\leq t\leq 1\ \ ,\ \ \ 2t^2-t-1=0\ \ ,\ \ D=9\ \ ,\ \ t_1=-\dfrac{1}{2}\ ,\ t_2=1\\\\a)\ \ cosx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=\pm (\pi -\dfrac{\pi}{3}\, )+2\pi n\ ,\ n\in Z\ ,\\\\x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cosx=1\ \ ,\ \ \ x=2\pi k\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in \Big(\ 0\ ;\ \dfrac{3\pi}{2} \ \Big):\ \ x_1=\dfrac{2\pi }{3}\ ,\ x_2=\dfrac{4\pi }{3}\ .$

$Otvet:\ a)\ x_1=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ,\ x_2=2\pi k\ ,\ \ n,k\in Z\ ;\\\\{}\qquad \qquad b)\ x_1=\dfrac{2\pi}{3}\ ,\ x_2=\dfrac{4\pi }{3}\ .$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

cos(2x) - cos(x) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться формулой для разности косинусов:

cos(2x) - cos(x) = 2 * sin(x/2) * sin(3x/2)

Теперь у нас есть:

2 * sin(x/2) * sin(3x/2) = 0

Для того чтобы уравнение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. sin(x/2) = 0
2. sin(3x/2) = 0

Давайте рассмотрим каждый из них.

1. sin(x/2) = 0

Для этого случая, x/2 должен быть равен кратным числам π, то есть:

x/2 = πn, где n - целое число

Теперь, умножим обе стороны на 2:

x = 2πn

2. sin(3x/2) = 0

Для этого случая, 3x/2 должен быть равен кратным числам π, то есть:

3x/2 = πn, где n - целое число

Теперь, умножим обе стороны на 2/3:

x = (2/3)πn

Теперь, давайте рассмотрим интервал, который вы указали: (0:3π/2) включительно. Это означает, что мы должны найти корни в этом интервале для обоих случаев.

1. Для первого случая (x = 2πn) наш интервал (0:3π/2) будет содержать корни при n = 0, n = 1 и n = 2. Таким образом, x1 = 0, x2 = 2π, и x3 = 4π.

2. Для второго случая (x = (2/3)πn) наш интервал (0:3π/2) будет содержать корни при n = 0, n = 1 и n = 2. Таким образом, x1 = 0, x2 = (2/3)π, и x3 = (4/3)π.

Таким образом, у нас есть следующие корни в указанном интервале:

x1 = 0 x2 = (2/3)π x3 = (4/3)π x4 = 2π