Question

Помогите пожалуйста с уравнениями y' '+2 y'+5 y=−2sin x y"-3y=(4x+1)e^2x

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

1.

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +2 r + 5 = 0

D=2^2 - 4·1·5=-16

Корни характеристического уравнения: (комплексные корни):

r1 = -1 + 2i

r2 = -1 - 2i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1 e^(-x) cos(2x) + C2 e^(-x) cos(2x) , Ci ∈ R

Рассмотрим правую часть:

f(x) = -2*sin(x)

Здесь P(x) = 0, Q(x) = -2, α = 0, β = 1.

Следовательно, число α + βi = i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Acos(x) + Bsin(x)

Вычисляем производные:

y' = -A·sin(x)+B·cos(x)

y'' = -(A·cos(x)+B·sin(x))

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' + 5y = (-(A·cos(x)+B·sin(x))) + 2(-A·sin(x)+B·cos(x)) + 5(Acos(x) + Bsin(x)) = -2·sin(x)

или

-2·A·sin(x)+4·A·cos(x)+4·B·sin(x)+2·B·cos(x) = -2·sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -2A + 4B = -2

1: 4A + 2B = 0

Решая ее, находим:

A = 1/5;B = -2/5;

Частное решение имеет вид:

y·=1/5cos(x) -2/5sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = y- = C1 e^(-x) cos(2x) + C2 e^(-x) cos(2x) +1/5cos(x) -2/5sin(x)

2.

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +0 r - 3 = 0

D=0^2 - 4·1·(-3)=12

Корни характеристического уравнения:

r1 =$\sqrt{3}$

r2 =-$\sqrt{3}$

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1e^$\sqrt{3}$ +C2 e^ (-$\sqrt{3$) , Ci ∈ R

Рассмотрим правую часть:

f(x) = (4*x+1)*e^(2*x)

Поиск частного решения.

Здесь P(x) = 4•x+1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = (Ax + B)e^(2x)

Вычисляем производные:

y' = A·e^(2x+2(A·x+B)·e^(2x)

y'' = 4(A·x+A+B)·e^(2x)

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -3y = (4(A·x+A+B)·e^(2x)) -3((Ax + B)e^(2x)) = (4·x+1)·e^(2·x)

или

A·x·e^(2x)+4·A·e^(2x)+B·e^(2x) = (4·x+1)·e^(2·x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x: A = 4

1: 4A + B = 1

Решая ее, находим:

A = 4;B = -15;

Частное решение имеет вид:

y·=(4x -15)e^(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = C1e^$\sqrt{3}$ +C2 e^ (-$\sqrt{3$) +(4x -15)e^(2x).

Answer 2

Конечно, давайте решим эти дифференциальные уравнения.

1. Уравнение $y'' + 2y' + 5y = -2\sin(x)$:

Для начала, решим характеристическое уравнение: $r^2 + 2r + 5 = 0$. Решениями будут комплексные числа. После нахождения корней общее решение можно записать в виде:

$y(t) = e^{-t} \left( A \cos(2t) + B \sin(2t) \right) - \frac{1}{5}\sin(x)$

где $A$ и $B$ - произвольные константы.

2. Уравнение $y'' - 3y = (4x + 1)e^{2x}$:

Это неоднородное уравнение. Решение можно представить в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения $y'' - 3y = 0$ можно записать как:

$y_h(t) = C_1 e^{\sqrt{3}t} + C_2 e^{-\sqrt{3}t}$

где $C_1$ и $C_2$ - константы.

Частное решение неоднородного уравнения можно попробовать найти в виде многочлена второй степени:

$y_p(t) = At^2 + Bt + C$

где $A$, $B$, и $C$ - константы. Подставляем это в уравнение и находим значения констант.

После того, как найдены значения констант, окончательное решение будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$

Надеюсь, это поможет вам решить ваши уравнения! Если у вас есть конкретные значения, с которыми вы хотели бы продолжить, дайте знать.