Question

Пункты А и В расположены на двух различных дорогах, представляющих собой две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в пункте С. Два мотоциклиста одновременно начинают движение: первый из пункта А  по направлению к С, а второй из пункта В  по направлению к С. Через какой время после начала движения расстояние между мотоциклистами будет наименьшим и каким, если скорость первого мотоциклиста равна 44 км/ч, второго - 33 км/ч, а каждое из расстояний от пункта А до пункта С и от пункта В до пункта С равно 275 км?​

Answer 1

Ответ:

Через 7 часов расстояние между мотоциклистами будет минимальным

Объяснение:

Дано:

s = 275 км

v₁ = 44 км/ч

v₂ = 33 км/ч

d = min

Найти:

t (d min) - время от начала движения, через которое расстояние между мотоциклистами станет минимальным

Решение:

Через t часов расстояние от 1-го мотоциклиста (движущегося от пункта А) до пункта С стало равным

x = s - v₁t   или х = 275 - 44t

Через t часов расстояние от 2-го мотоциклиста (движущегося от пункта В) до пункта С стало равным

у = s - v₂t   или у = 275 - 33t

Расстояние между мотоциклистами

$d = \sqrt{x^2+ y^2 }$

$d = \sqrt{(275 - 44t)^2+ (275 - 33t)^2 }$

Производная по t

$d' = \dfrac{-2\cdot 44\cdot(275-44t)-2\cdot 33\cdot (275 - 33t)}{2 \sqrt{(275 - 44t)^2+ (275 - 33t)^2 }}$

d' = 0

-2 · 44 · (275 - 44t) = 2 · 33 · (275 - 33t)

275 · (44 + 33) = t (44² + 33²)

$t = \dfrac{275 \cdot(44 + 33)}{44^2 + 33^2} = 7$

При t = 7 знак производной меняется с - на + поэтому в точке t = 7 час  расстояние d имеет минимальное значение

x = 275 - 44 · 7 = -33

y = 275 - 33 · 7 = 44

$d = \sqrt{33^2+ 44^2 } = 55 ~(km)$

В этот момент 1-й мотоциклист уже минует пункт С, а 2-й ещё не доедет до пункта С.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием относительной скорости. Пусть мотоциклисты встретятся через время t, и расстояние между ними в этот момент будет равно d.

Сначала определим, какое расстояние каждый мотоциклист проехал к моменту встречи. Для этого используем формулу расстояния, равно скорость умноженная на время:

Для первого мотоциклиста: Расстояние от А до С = Скорость * Время Расстояние от А до С = 44 км/ч * t

Для второго мотоциклиста: Расстояние от В до С = 33 км/ч * t

Так как оба мотоциклиста движутся друг на друга, расстояние между ними в момент встречи равно сумме расстояний, которые они проехали:

d = (44t + 33t)

d = 77t

Теперь у нас есть выражение для расстояния между мотоциклистами в зависимости от времени t.

Теперь нам нужно минимизировать это расстояние. Для этого продифференцируем его по времени и найдем, когда производная равна нулю:

d' = 77 t = 0

Таким образом, расстояние между мотоциклистами будет минимальным в момент времени t = 0. То есть, они встретятся сразу после начала движения. Расстояние в этот момент равно:

d = 77 * 0 = 0 км

Итак, расстояние между мотоциклистами будет наименьшим сразу после начала движения, и оно равно 0 км.