Question

Розв'яжіть рівняння х^4 – 3х^3 – 6х^2 +12x +16 = 0.​

Answer 1

Ответ:

$x = \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ x = \frac{1 + \sqrt{17} }{2} \\ x = 1 - \sqrt{5} \\ x = 1 + \sqrt{5}$

Объяснение:

решение на фото

Answer 2

Для розв'язання рівняння $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 12x + 16 = 0$ спростимо його, використовуючи раціональні корені, якщо вони є:

$x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 12x + 16 = (x - 2)(x^3 - x^2 - 8x - 8) = 0.$

Знайдемо раціональний корінь цього кубічного рівняння за допомогою раціонального кореня теореми:

Потенційні раціональні корені $x$ задані як дільники вільного члена (-8) поділені на дільники коефіцієнта старшого члена (1). Тобто можливі значення $x$ включають $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Спробуємо значення $x = 1$:

$1^3 - 1^2 - 8 \cdot 1 - 8 = 1 - 1 - 8 - 8 = -16 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = -1$:

$-1^3 - (-1)^2 - 8 \cdot (-1) - 8 = -1 - 1 + 8 - 8 = -2 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = 2$:

$2^3 - 2^2 - 8 \cdot 2 - 8 = 8 - 4 - 16 - 8 = -20 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = -2$:

$-2^3 - (-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 8 = -8 - 4 + 16 - 8 = -4 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = 4$:

$4^3 - 4^2 - 8 \cdot 4 - 8 = 64 - 16 - 32 - 8 = 8 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = -4$:

$-4^3 - (-4)^2 - 8 \cdot (-4) - 8 = -64 - 16 + 32 - 8 = -56 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = 8$:

$8^3 - 8^2 - 8 \cdot 8 - 8 = 512 - 64 - 64 - 8 = 376 \neq 0.$

Спробуємо значення $x = -8$:

$-8^3 - (-8)^2 - 8 \cdot (-8) - 8 = -512 - 64 + 64 - 8 = -520 \neq 0.$

Зараз ми бачимо, що жоден з потенційних раціональних коренів не задовольняє рівняння $x^3 - x^2 - 8x - 8 = 0$. Тобто, це кубічне рівняння може не мати раціональних коренів, і його розв'язок потрібно шукати за допомогою інших методів, таких як графічний аналіз чи числові методи.

Отже, розв'язок цього рівняння $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 12x + 16 = 0$ включає розв'язок кубічного рівняння $x^3 - x^2 - 8x - 8 = 0$ і його корені можуть бути комплексними або ірраціональними.