Question

Відомо, що три натуральні числа є послідовними членами геометричної прогресії. Третє дорівнює 12, і якщо узяти (-36) замість 12, то ці три числа будуть послідовнимичленами арифметичної прогресії. Знайдіть суму цифр першого числа.​

Answer 1

Відповідь:

9

Пояснення:

Нехай перше та друге числа — x та y відповідно. Отже, числа x, y і 12 утворюють геометричну прогресію, а числа x, y і -36 — арифметичну.

Скористаємося основними властивостями цих прогресій. Квадрат кожного члена геометричної дорівнює добутку сусідніх. Зокрема для члена y,

$y^2=12x \; (*)$

Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх. Зокрема для того ж члена y,

$y=\frac{x-36}{2}$.

Звідси $y^2=\frac{(x-36)^2}{4} \; (**)$.

Ліві частини рівнянь (*) і (**) збігаються, тому прирівняємо праві та знайдемо x:

$12x=\frac{(x-36)^2}{4}\\48x=(x-36)^2\\48x=x^2-72x+1296\\x^2-120x+1296=0\\D_1=k^2-ac=(-60)^2-1296=3600-1296=2304\\x=\frac{-k\pm \sqrt{D_1}}{a}\\\begin{cases} x_1=\frac{60+\sqrt{2304} }{1}=60+48=108\\x_2=\frac{60-\sqrt{2304} }{1}=60-48=12 \end{cases}$

Якщо перше з розглядуваних чисел — 12, то друге дорівнює $\frac{12-36}{4}=-12$. Воно не натуральне й не задовольняє умові. Якщо ж x=108, то $y=\frac{108-36}{2}=36$, що цілком відповідає умові задачі.

Тоді сума цифр першого числа 1+0+8=9.

Answer 2

Давайте позначимо перше число геометричної прогресії через "a", а різницю між другим і першим числами - через "r". Тоді друге число буде "a * r", і третє число буде "a * r^2".

За умовою задачі, третє число дорівнює 12:

a * r^2 = 12

Також, за іншою умовою, якщо узяти (-36) замість 12, то ці три числа будуть послідовними членами арифметичної прогресії. Отже, друге число буде "a - r", і третє число буде "a - 2r". За умовою ці трі числа дорівнюють:

a - r = -36 a - 2r = -36

Тепер у нас є система двох рівнянь:

1. a * r^2 = 12
2. a - r = -36

Давайте розв'яжемо цю систему. Спершу виразимо "a" з другого рівняння:

a = r - 36

Тепер підставимо це значення "a" у перше рівняння:

(r - 36) * r^2 = 12

Розкриємо дужки і спростимо:

r^3 - 36r^2 = 12

Тепер перенесемо всі члени на один бік рівності:

r^3 - 36r^2 - 12 = 0

На жаль, це рівняння кубічного порядку, і його не завжди легко розв'язати аналітично. Ми можемо використовувати числові методи, такі як метод Ньютона, для знаходження коренів, але це складний процес.

Якщо вам потрібно знайти суму цифр першого числа, то ви можете продовжити розв'язування для "a" і "r" та обчислити суму цифр. Але рішення цього рівняння не є тривіальним завданням.