Question

Знайдіть найменше значення функції y=x^2+4/ x на проміжку [1;4]​

Answer 1

у=х² + 4/х=x² + 4*x⁻¹

у'=2х + 4*(-1)*х⁻¹⁻¹=2х - 4*х⁻²=2х - 4/х²

2х - 4/х²=0

х - 2/х²=0

х=2/х²

х³=2

х=∛2

-----------[1]--------[∛2]--------------------[4]------------>x

                    +                    +

На промежутке [1; 4] функция возрастает.

Наименьшее значение функции при х=1.

у(1)=1² + 4/1=5   -   это ответ.

Answer 2

Для знаходження найменшого значення функції y = x^2 + 4/x на проміжку [1;4], спростимо завдання.

Спочатку знайдемо похідну функції y відносно x і прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки функції:

y = x^2 + 4/x

y' = 2x - 4/x^2

Тепер прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо рівняння:

2x - 4/x^2 = 0

2x^3 - 4 = 0

x^3 = 2

x = ∛2

Таким чином, єдине критичне значення x на проміжку [1;4] - це x = ∛2 (приблизно 1,26).

Тепер знайдемо значення функції в критичній точці та на кінцях інтервалу [1;4]:

y(1) = 1^2 + 4/1 = 1 + 4 = 5 y(∛2) ≈ (∛2)^2 + 4/∛2 ≈ 2.08 + 4/∛2 ≈ 5.78 y(4) = 4^2 + 4/4 = 16 + 1 = 17

Таким чином, найменше значення функції на проміжку [1;4] знаходиться при x ≈ ∛2 і становить приблизно 5.78.