Question

Помогите пожалуйста с задачей Даны функции вида f(x) = x^2+2x+6, g(x) = -2x+10, h(x) = 5x+10. Функция f(x) ⋂ g(x) в точках C и D. Функция f(x) ⋂ h(x) в точках B и E. Функция g(x) ⋂ h(x) в точке А. Найти сумму площадей треугольников ABC ADB и AEC. В ответ записать первые 8 цифр результата.

Answer 1

Ответ:

у = -2х + 1

Объяснение:

f(x) = - х2 + 2х – 3

g(x) = x2+ 2

Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид:

у = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

1. Составим уравнение касательной к графику f(x) = - х2 + 2х – 3:

Пусть касательная проходит через точку х0 = с:

f’(x) = (- х2 + 2х – 3)’ = - 2x + 2

f’(c) = -2c + 2

f(c) = - c2 + 2c – 3

Уравнение касательной:

у = (-2с + 2) (х – с) - c2 + 2c – 3 = -2сх + 2с2 + 2х - 2с - c2 + 2c – 3 = (2 - 2с)х + с2 – 3

у = (2 - 2с)х + с2 – 3

2. Составим уравнение касательной к графику g(x) = x2+ 2:

Пусть касательная проходит через точку х0 = а:

g’(x) = (x2+ 2)’ = 2x

g’(а) = 2а

g(а) = а2 + 2

Уравнение касательной:

у = 2а (х – а) + а2 + 2 = 2ах – 2а2 + а2 + 2 = 2ах - а2 + 2

у = 2ах - а2 + 2

3. Т.к. искомая касательная едина для двух функций, то

2 – 2с = 2а

с2 – 3 = - а2 + 2

Решим систему уравнений.

а = 1 – с

подставим во второе уравнение:

с2 – 3 = - (1 – с)2 + 2

с2 – 3 = - 1 + 2с – с2 + 2

с2 – 3 + 1 - 2с + с2 – 2 = 0

2с2 – 2с – 4 = 0

с2 – с – 2 = 0

(с + 1) (с - 2) = 0

с1 = - 1

с2 = 2

Тогда:

а1 = 2

а2 = - 1

Таким образом, графики функций имеют 2 общие касательные:

у = 4х – 2

у = -2х + 1

Answer 2

Для начала, найдем точки пересечения указанных функций:

1. f(x) ⋂ g(x): Решим уравнение f(x) = g(x): x^2 + 2x + 6 = -2x + 10

   Перенесем все члены в одну сторону: x^2 + 4x - 4 = 0

   Теперь используем квадратное уравнение. Мы имеем: a = 1, b = 4, c = -4

   Дискриминант (D) равен: D = b^2 - 4ac = 4^2 - 41(-4) = 16 + 16 = 32

   Теперь найдем корни уравнения: x = (-b ± √D) / (2a) x = (-4 ± √32) / (2*1) x = (-4 ± 4√2) / 2 x = -2 ± 2√2

   Итак, точки C и D имеют координаты: C(-2 + 2√2, f(-2 + 2√2)) и D(-2 - 2√2, f(-2 - 2√2)).

2. f(x) ⋂ h(x): Решим уравнение f(x) = h(x): x^2 + 2x + 6 = 5x + 10

   Перенесем все члены в одну сторону: x^2 - 3x - 4 = 0

   Используем квадратное уравнение: a = 1, b = -3, c = -4

   D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25

   Теперь найдем корни: x = (-b ± √D) / (2a) x = (3 ± 5) / 2 x = 4/2 = 2 и x = -2/2 = -1

   Таким образом, точки B(2, f(2)) и E(-1, f(-1)).

3. g(x) ⋂ h(x): Решим уравнение g(x) = h(x): -2x + 10 = 5x + 10

   Перенесем все члены в одну сторону: -2x - 5x = 10 - 10 -7x = 0

   Теперь найдем x: x = 0

   Точка A(0, g(0)).

Теперь у нас есть координаты точек A, B, C, D и E. Мы можем найти площади треугольников ABC, ADB и AEC, а затем найти их сумму.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

Площадь = 1/2 * основание * высота

1. Площадь треугольника ABC: База: BC = 2 - (-2 + 2√2) = 4 + 2√2 Высота: f(0) - f(-2 + 2√2) = (0 - (-2 + 2√2))^2 + 2(-2 + 2√2) + 6 Высота: (2 + 2√2)^2 + 2(-2 + 2√2) + 6

2. Площадь треугольника ADB: База: BD = (-2 - 2√2) - (-2 + 2√2) = -2 - 2√2 + 2 + 2√2 = 4 Высота: f(0) - f(-2 - 2√2) = (0 - (-2 - 2√2))^2 + 2(-2 - 2√2) + 6 Высота: (2 - 2√2)^2 + 2(-2 - 2√2) + 6

3. Площадь треугольника AEC: База: EC = (-1 - 2√2) - (-2 + 2√2) = -1 - 2√2 + 2 + 2√2 = 1 Высота: f(0) - f(-1) = (0 - (-1))^2 + 2(-1) + 6 Высота: 1 + (-2) + 6 = 5

Теперь вычислите площади треугольников и найдите их сумму:

Сумма площадей = Площадь ABC + Площадь ADB + Площадь AEC

После вычислений, запишите первые 8 цифр результата.