Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(х)=х^3-3х^(2)-12х на отрезке -3;4

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

воспользуемся производной первого порядка

f'(x) = 3x²-6x-12

теперь критические точки

3x²-6x-12 = 0  ⇒ x₁ = 1+√5≈ 3.2   x₂=1-√5≈ -1.2  обе точки попадают в нужный отрезок

считаем значение функции в критических точках и на концах отрезка

f(1+√5) ≈ -36.4

f(1-√5) ≈ 8.4

f(-3) = -18

f(4) = -32

ответ

fmin = f(1+√5)  ≈ -36.4, fmax =f(1-√5) ≈ 8.4

Answer 2

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 12x на заданном отрезке [-3, 4], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, где производная равна нулю или не существует.
2. Оцените значение функции в найденных критических точках и на граничащих концах отрезка.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение среди полученных значений.

Давайте начнем с первого шага и найдем критические точки:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x - 12.

2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки: 3x^2 - 6x - 12 = 0.

   Деление обоих сторон на 3 дает: x^2 - 2x - 4 = 0.

   Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Оно факторизуется следующим образом: (x - 4)(x + 2) = 0.

   Из этого следует, что x = 4 и x = -2 - критические точки.

Теперь у нас есть две критические точки: x = 4 и x = -2. Теперь мы должны оценить значение функции в этих точках, а также на граничащих концах отрезка [-3, 4]:

• f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 12(-3) = -27 - 27 + 36 = -18.
• f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 12(4) = 64 - 48 - 48 = -32.
• f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) = -8 - 12 + 24 = 4.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-3, 4] равно -18 (в точке x = -3), а наибольшее значение равно 4 (в точке x = -2).

Наименьшее значение: f(-3) = -18. Наибольшее значение: f(-2) = 4.