Question

Найдите наибольшее значение функции . Напоминаю , что нужна не только оценка , но и указание значения аргумента , при котором эта оценка достигается : y = sinx · cos4x + cosx · cos8x + cos( x + π/4)

Answer 1

По неравенсту Коши-Буняковского

y=sinx*cos4x+cosx*cos8x+cos(x+pi/4) <= sinx*cos4x+cosx*cos8x+1 <= √(sin^2x+cos^2x)(cos^2(4x)+cos^2(8x))+1 = √(cos^2(4x)+cos^2(8x))+1  

но  cos^2(a)+cos^2(2a) = cos^2(a)+(2cos^2(a)-1)^2 = b+(2b-1)^2 = 4b^2-3b+1  

это парабола ветви корой направлены вверх, и строго возрастает, значит при b=1, y(max) = 2

то есть  y(max)=√2+1 выполняется при x=-pi/4

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = sin(x) * cos(4x) + cos(x) * cos(8x) + cos(x + π/4) и соответствующего значения аргумента, мы должны найти производную этой функции и найти её максимальное значение. После этого, мы найдем соответствующее значение аргумента.

Давайте начнем с нахождения производной функции y по x:

y'(x) = (sin(x) * cos(4x))' + (cos(x) * cos(8x))' + (cos(x + π/4))'

Используем правило производной произведения (u * v)' = u' * v + u * v':

y'(x) = (sin(x))' * cos(4x) + sin(x) * (cos(4x))' + (cos(x))' * cos(8x) + cos(x) * (cos(8x))' + (cos(x + π/4))'

Теперь найдем производные компонентов:

(sin(x))' = cos(x) (cos(4x))' = -4sin(4x) (cos(x))' = -sin(x) (cos(8x))' = -8sin(8x) (cos(x + π/4))' = -sin(x + π/4)

Теперь подставим эти производные обратно в уравнение:

y'(x) = cos(x) * cos(4x) - 4sin(x) * sin(4x) - sin(x) * cos(8x) - 8cos(x) * sin(8x) - sin(x + π/4)

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю:

0 = cos(x) * cos(4x) - 4sin(x) * sin(4x) - sin(x) * cos(8x) - 8cos(x) * sin(8x) - sin(x + π/4)

Нахождение точных аналитических решений для этого уравнения может быть сложной задачей. Мы можем воспользоваться численными методами или программой для нахождения приближенных значений этих точек.

После нахождения критических точек, мы можем подставить их в исходную функцию y(x) и найти значение функции при каждой из них. Наибольшее значение и соответствующий аргумент будут определяться из этих вычислений.