Question

Для любителей мат. задач Найдите все значения параметра а при которых уравнения x^2 +(a^2 - 5a+6)x=0, x^2 +2(a-3)x+(a^2 - 7a+12)=0 имеют одни и

Answer 1

Попытаю удачу в размышлениях. Вы, как Главный Мозг, видите мою ошибку? Кажется, она здесь есть.

${x}^{2} + ( {a}^{2} - 5a + 6)x = 0,$

$где \: a = 1,b = {a}^{2} - 5a + 6,c = 0$

${x}^{2} + 2(a - 3)x + ( {a}^{2} - 7a + 12) = 0,$

$где \: a = 1,b = 2(a - 3) = 2a - 6,c = {a}^{2} - 7a + 12$

В первом уравнении:

$x_1 = \frac{ - b + \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) + \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6) ^{2} } - 4 \times 1 \times 0 } }{2 \times 1} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) + \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6 )}^{2} } }{2} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) + ( {a}^{2} - 5a + 6)}{2} = 0$

$x_2 = \frac{ - b - \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) - \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6) ^{2} } - 4 \times 1 \times 0 } }{2 \times 1} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) - \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6 )}^{2} } }{2} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) - ( {a}^{2} - 5a + 6)}{2} = \frac{ - 2( {a}^{2} - 5a + 6) }{2} = - {a}^{2} + 5a - 6$

Во втором уравнении:

$x_3 = \frac{ - b + \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - (2a - 6) + \sqrt{ {(2a - 6)}^{2} - 4 \times 1 \times ( {a}^{2} - 7a + 12)} }{2 \times 1} = \frac{ - (2a - 6) + \sqrt{ 4 {a}^{2} - 24 a + 36 - 4 {a}^{2} + 28a - 48 } }{2} = \frac{ - (2a - 6) + \sqrt{4a - 12} }{2} = \frac{ - 2(a - 3) + 2 \sqrt{a - 3} }{2} = - (a - 3) + \sqrt{a - 3}$

$x_4 = \frac{ - b - \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - (2a - 6) - \sqrt{ {(2a - 6)}^{2} - 4 \times 1 \times ( {a}^{2} - 7a + 12)} }{2 \times 1} = \frac{ - (2a - 6) - \sqrt{ 4 {a}^{2} - 24 a + 36 - 4 {a}^{2} + 28a - 48 } }{2} = \frac{ - (2a - 6) - \sqrt{4a - 12} }{2} = \frac{ - 2(a - 3) - 2 \sqrt{a - 3} }{2} = - (a - 3) - \sqrt{a - 3}$

Составляем систему уравнений, поскольку одно из значений x = 0, то остальные выражения нужно приравнять к нулю.

$- {a}^{2} + 5a - 6 = 0$

$D = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

$- (a - 3) + \sqrt{(a - 3)} = 0$

$\sqrt{(a - 3)} = a - 3$

$a - 3 = {(a - 3)}^{2}$

$a - 3 = {a}^{2} - 6a + 9$

${a}^{2} - 7a + 12 = 0$

$D = 1, a_3 = 4, a_4 = 3$

$- (a - 3) - \sqrt{(a - 3)} = 0$

$a_5 = 3$

Получились такие значения a, как 2, 3 и 4.

Подставляем в исходные уравнения.

${x}^{2} + ( {a}^{2} - 5a + 6)x = 0$

a = 2,

${x}^{2} = 0, \: x = 0$

a = 3,

${x}^{2} = 0, \: x = 0$

a = 4,

${x}^{2} + 2x = 0, \: x = 0, \: x = - 2$

${x}^{2} + 2(a - 3)x + ( {a}^{2} - 7a + 12) = 0$

a = 2, корней нет.

a = 3, корней нет.

a = 4,

${x}^{2} + 2x = 0, \: x = 0, \: x = - 2$

Получается, значение параметра a равно 4.

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра 'a', при которых уравнения x^2 + (a^2 - 5a + 6)x = 0 и x^2 + 2(a-3)x + (a^2 - 7a + 12) = 0 имеют одни и те же корни, нужно рассмотреть, когда эти уравнения становятся эквивалентными.

Для начала рассмотрим первое уравнение: x^2 + (a^2 - 5a + 6)x = 0.

Уравнение будет иметь одинаковые корни, если дискриминанты обоих уравнений равны между собой. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac. В нашем случае первого уравнения:

D1 = (a^2 - 5a + 6)^2 - 4 * 1 * (a^2) = a^4 - 9a^3 + 31a^2 - 40a + 24

Теперь рассмотрим второе уравнение: x^2 + 2(a-3)x + (a^2 - 7a + 12) = 0.

D2 = (2(a-3))^2 - 4 * 1 * (a^2 - 7a + 12) = 4(a^2 - 6a + 9) - 4a^2 + 28a - 48 = 4a^2 - 24a + 36 - 4a^2 + 28a - 48 = 4a - 12

Теперь уравняем дискриминанты D1 и D2:

a^4 - 9a^3 + 31a^2 - 40a + 24 = 4a - 12

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

a^4 - 9a^3 + 31a^2 - 44a + 36 = 0

Теперь попробуем решить это уравнение. Оно может быть сложным для аналитического решения, поэтому мы можем воспользоваться численными методами или программой для нахождения значений параметра 'a', при которых уравнения имеют одинаковые корни.