Question

Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): 1) f(x) = 3x² + 3sinx2) f(x) = x⁴ + 4cosx3) F(x) = x³ - 3cosx4) F(x) = 0,2x⁵ + 4sinx​

Answer 1

Ответ:

Т.к. интегрирование - это обратный дифференцированию процесс, то возьмем производную

f(x)=x^3-3cosx

f'(x)=3x^2+3sinx - доказано

f(x)=0.2x^5+4sinx

f'(x)=1*x^4+4cosx=x^2+4cosx - доказано

Объяснение:

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нужно проверить, что производная F(x) равна f(x). Для этого используем правила дифференцирования, которые можно найти, например, в [Википедии](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F). Решим каждый пункт по отдельности:

1) f(x) = 3x² + 3sinx

Производная F(x) равна:

F'(x) = (3x² + 3sinx)' = 6x + 3cosx

Сравниваем с f(x) и видим, что они совпадают. Значит, F(x) является первообразной для f(x).

2) f(x) = x⁴ + 4cosx

Производная F(x) равна:

F'(x) = (x⁴ + 4cosx)' = 4x³ - 4sinx

Сравниваем с f(x) и видим, что они совпадают. Значит, F(x) является первообразной для f(x).

3) F(x) = x³ - 3cosx

Производная F(x) равна:

F'(x) = (x³ - 3cosx)' = 3x² + 3sinx

Сравниваем с f(x) и видим, что они не совпадают. Значит, F(x) не является первообразной для f(x).

4) F(x) = 0,2x⁵ + 4sinx

Производная F(x) равна:

F'(x) = (0,2x⁵ + 4sinx)' = x⁴ + 4cosx

Сравниваем с f(x) и видим, что они совпадают. Значит, F(x) является первообразной для f(x).

Надеюсь, это помогло вам разобраться в теме.