Question

Уравнение x³-30x² + p = 0 имеет три различных действительных корня, образующих арифметическую прогрессию. Определите наименьшее возможное значение параметра p​

Answer 1

Используется теорема Виета для кубического уравнения вида

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.

Для заданного x³-30x² + p = 0 коэффициенты равны:

a = 1, b = -30, c = 0, d = p.

По первому свойству корней имеем:

x1 + x2 + x3 = -b/a = -(-30)/1 = 30.

По свойству арифметической прогрессии х2 = х1 + d, x3 = x1 + 2d. Подставим: x1 +х1 + d + х1 + 2d = 30,

                   3x1 + 3d = 30,

                   3(x1 + d) = 30,

                      х1 + d = x2 = 30/3 = 10.

Найден один из корней: х2 = 10, отсюда d = 10 - x1.

По второму свойству корней имеем:

x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = c/a.

У нас х2 = 10, с = 0.

Получаем 10х1 + х1*х3 + 10х3 = 0. Вынесем х3 за скобки.

10х1 + х3(х1 + 10) = 0,

Заменим х3 = x1 + 2d = x1 + 20 - 2x1 = 20 - x1.

10х1 + (20 - x1)(х1 + 10) = 0,

10х1 + 20х1 - x1^2 + 200 - 10x1 = 0.

Получаем квадратное уравнение:

-x1^2 + 20x1  + 200 = 0 или,

x1^2 - 20x1  - 200 = 0.  D = 400 - 4*1*(-200) = 1200.

√D = √1200 = +-20√3.

x1 = (20 - 20√3)/2 = 10 - 10√3 = -10(√3 - 1) ≈ -7,32051.

x3 = (20 + 20√3)/2 = 10 + 10√3 = 10(√3 + 1) ≈ 27,32051.

Как видим, найденные корни с учётом ранее определённого корня х2 = 10 образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 10 - x1 = 17,32051.

По третьему свойству корней имеем:

x1*x2*x3 = -p/1.

Отсюда находим значение р.

р = -(-10(√3 - 1))*10*(10(√3 + 1)) = 1000*(3-1) = 2000.

Ответ: р = 2000.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение и определим условия для того, чтобы у него было три различных действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

У нас есть уравнение:

\[x^3 - 30x^2 + p = 0\]

Пусть корни образуют арифметическую прогрессию, т.е., пусть корни будут \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(a\) - средний член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Используем свойство суммы корней кубического уравнения: сумма корней уравнения \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) равна \(-\frac{b}{a}\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -30\), \(c = 0\), \(d = p\).

Сумма корней:

\[-\frac{b}{a} = -\frac{-30}{1} = 30\]

Таким образом, сумма корней \(a - d + a + a + d = 3a = 30\), отсюда \(a = 10\).

Теперь, чтобы найти параметр \(p\), используем свойство произведения корней кубического уравнения: произведение корней равно коэффициенту при старшем члене, делённому на коэффициент при \(x^3\).

В нашем случае, произведение корней:

\[(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 10(10 - p)(10 + p)\]

Так как коэффициент при \(x^3\) равен 1, то произведение корней равно \(p\).

\[p = 10(10 - p)(10 + p)\]

Раскрываем скобки:

\[p = 10(100 - p^2)\]

Раскрываем ещё раз:

\[p = 1000 - 10p^2\]

Приравниваем к нулю:

\[10p^2 + p - 1000 = 0\]

Теперь решаем квадратное уравнение. Формула для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) выглядит как:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае \(a = 10\), \(b = 1\), \(c = -1000\).

\[p = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(10)(1000)}}{2(10)}\]

\[p = \frac{-1 \pm \sqrt{40001}}{20}\]

Так как нам нужно найти наименьшее возможное значение \(p\), выбираем отрицательный корень:

\[p = \frac{-1 - \sqrt{40001}}{20}\]

Это и будет ответ на задачу.