Question

Розв'язати нервість X^2-2x-2<0

Answer 1

Ответ:

(1 - корінь з 3; 1 + корінь 3)

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність \(x^2 - 2x - 2 < 0\), спробуємо знайти інтервали значень \(x\), для яких ця нерівність виконується.

Спочатку розглянемо квадратний термін. Розв'язуємо рівняння \(x^2 - 2x - 2 = 0\), щоб знайти критичні точки:

\[x^2 - 2x - 2 = 0\]

Для розв'язання цього квадратного рівняння можна використовувати квадратне рівняння:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -2\):

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}\]

\[x = 1 \pm \sqrt{3}\]

Таким чином, ми маємо дві критичні точки \(x_1 = 1 + \sqrt{3}\) та \(x_2 = 1 - \sqrt{3}\).

Тепер розглянемо три інтервали, утворені цими критичними точками: \((-\infty, 1 - \sqrt{3}), (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (1 + \sqrt{3}, +\infty)\).

Оберемо тестове значення \(x\) з кожного інтервалу і підставимо його в початкову нерівність, щоб визначити знак виразу \(x^2 - 2x - 2\).

1. Для інтервалу \((-\infty, 1 - \sqrt{3})\): Оберемо \(x = 0\)

\[0^2 - 2 \cdot 0 - 2 = -2 < 0\]

2. Для інтервалу \((1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})\): Оберемо \(x = 1\)

\[1^2 - 2 \cdot 1 - 2 = -2 < 0\]

3. Для інтервалу \((1 + \sqrt{3}, +\infty)\): Оберемо \(x = 2\)

\[2^2 - 2 \cdot 2 - 2 = 2 > 0\]

Отже, нерівність \(x^2 - 2x - 2 < 0\) виконується для значень \(x\) в інтервалах \((-\infty, 1 - \sqrt{3})\) та \((1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})\).