Question

Найдите область определения и множество значений функции f(x)=2-sin(x-п)

Answer 1

Ответ:

1) f(x)=1/(sin(x) - 0,5), т.к. функция y = 1/x определена на всем числовом промежутке, кроме x = 0, то и данная функция определена при всех x, кроме sin(x) - 0,5 = 0

sin(x) = 1/2

x = arcsin(1/2) + 2пn => x = п/6 + 2пn

x = п - arcsin(1/2) + 2пn => x = 5п/6 + 2пn

Ответ: x ∈ R, x ≠ п/6 + 2пn, 5п/6 + 2пn, n ∈ Z

2)

а) y = 2sin(x ) - 3

Зная, что |sin(x)|≤ 1, то рассмотрим максимальное и минимальное значение функции:

y = 2 - 3 = -1

y = -2 - 3 = - 5

y = 0 - 3 = -3

Ответ: y ∈ [-5; - 1]

б)y = 1 - cos(2x) = 1 - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1 - cos^2(x) + sin^2(x) = 2* sin^2(x)

y = 2 * 1^2 = 2

y = 2 * 0 = 0

Ответ: y ∈ [0;2]

3)

а) y = x + cos(x), пусть x = -x

y = -x + cos(-x) = - x + cos(x)

- x + cos(x) ≠ x + cos(x) => ф-я нечетная

б) y = 3x^2 * sin x, пусть x = -x

y = 3 * (-x)^2 * sin(-x) = 3x^2 * (-sin(x)) = - 3x^2 * sin(x)

- 3x^2 * sin(x) ≠ 3x^2 * sin x => ф-я нечетная

Answer 2

Для определения области определения и множества значений функции \(f(x) = 2 - \sin(x - \pi)\), давайте рассмотрим каждый аспект по отдельности.

Область определения:

Область определения функции - это множество всех возможных значений переменной, при которых функция определена. В данной функции мы имеем синус внутри, и мы знаем, что область определения синуса - это все вещественные числа. Таким образом, для функции \(f(x) = 2 - \sin(x - \pi)\) область определения также будет все вещественные числа.

Множество значений:

Множество значений функции - это множество всех значений, которые функция может принимать. Для синуса максимальное значение равно 1, а минимальное значение - (-1). Так как мы вычитаем синус из 2, максимальное значение функции будет \(2 - (-1) = 3\), а минимальное значение - \(2 - 1 = 1\). Таким образом, множество значений функции \(f(x) = 2 - \sin(x - \pi)\) - это все числа от 1 до 3, включая 1 и 3.

Итак, чтобы сформулировать ответ:

Область определения: \(\mathbb{R}\) (все вещественные числа).

Множество значений: \([1, 3]\) (все числа от 1 до 3, включая границы).