Question

Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 400 красный и синий цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки?

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

Тремя способами. Пока не уверен

Answer 2

Ответ:3

Объяснение:

Точно

Answer 3

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. Для каждого натурального числа от 1 до 400 мы можем выбрать один из двух цветов: красный или синий. Обозначим эти цвета как "К" и "С". Таким образом, у каждого числа есть два возможных цвета.

Теперь, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки, давайте предположим, что у нас есть два числа одного цвета, например, \( a \) и \( b \), и их сумма равна степени двойки:

\[ a + b = 2^n, \]

где \( n \) - некоторая неотрицательная целая степень двойки. Теперь, у нас есть два случая:

1. Оба числа \( a \) и \( b \) красные (К). 2. Оба числа \( a \) и \( b \) синие (С).

Рассмотрим первый случай. Поскольку \( a + b = 2^n \), и оба числа красные, то \( a \) и \( b \) должны быть четными числами. Обозначим их как \( a = 2k \) и \( b = 2m \), где \( k \) и \( m \) - некоторые натуральные числа. Тогда уравнение примет вид:

\[ 2k + 2m = 2^n, \]

\[ k + m = 2^{n-1}. \]

Это означает, что сумма двух четных чисел равна половине степени двойки, что приводит к противоречию.

Теперь рассмотрим второй случай, когда оба числа \( a \) и \( b \) синие (С). Аналогично представим их как \( a = 2p+1 \) и \( b = 2q+1 \), где \( p \) и \( q \) - некоторые натуральные числа. Уравнение примет вид:

\[ (2p+1) + (2q+1) = 2^n, \]

\[ 2(p+q) + 2 = 2^n, \]

\[ p + q + 1 = 2^{n-1}. \]

Это также приводит к противоречию, так как слева от равенства стоит нечетное число.

Итак, мы видим, что для любой пары чисел одного цвета, их сумма не может быть степенью двойки. Теперь у нас есть 2 цвета, поэтому у нас есть \( 2 \times 2 = 4 \) возможных комбинации для каждого числа от 1 до 400 (два цвета для каждого числа).

Таким образом, общее количество способов покрасить все натуральные числа от 1 до 400 так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки, равно \( 4^{400} \).