Question

Разложите бином (x+a)^7

Answer 1

Ответ: см фото.

Объяснение:

Answer 2

Бином Ньютона — это формула, которая позволяет разложить сумму двух переменных в целую неотрицательную степень на отдельные слагаемые. Она имеет вид:

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k $$

где ${n \choose k}$ — это биномиальные коэффициенты, которые вычисляются по формуле:

$$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

где $n!$ — это факториал числа $n$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Чтобы разложить бином $(x+a)^7$, нужно подставить $a$ и $b$ в формулу бинома Ньютона и вычислить все биномиальные коэффициенты. Получим:

$$ \begin{aligned} (x+a)^7 &= \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} x^{7-k} a^k \\ &= {7 \choose 0} x^7 a^0 + {7 \choose 1} x^6 a^1 + {7 \choose 2} x^5 a^2 + {7 \choose 3} x^4 a^3 + {7 \choose 4} x^3 a^4 + {7 \choose 5} x^2 a^5 + {7 \choose 6} x^1 a^6 + {7 \choose 7} x^0 a^7 \\ &= \frac{7!}{0!(7-0)!} x^7 a^0 + \frac{7!}{1!(7-1)!} x^6 a^1 + \frac{7!}{2!(7-2)!} x^5 a^2 + \frac{7!}{3!(7-3)!} x^4 a^3 + \frac{7!}{4!(7-4)!} x^3 a^4 + \frac{7!}{5!(7-5)!} x^2 a^5 + \frac{7!}{6!(7-6)!} x^1 a^6 + \frac{7!}{7!(7-7)!} x^0 a^7 \\ &= \frac{7!}{0!7!} x^7 a^0 + \frac{7!}{1!6!} x^6 a^1 + \frac{7!}{2!5!} x^5 a^2 + \frac{7!}{3!4!} x^4 a^3 + \frac{7!}{4!3!} x^3 a^4 + \frac{7!}{5!2!} x^2 a^5 + \frac{7!}{6!1!} x^1 a^6 + \frac{7!}{7!0!} x^0 a^7 \\ &= \frac{5040}{5040} x^7 a^0 + \frac{5040}{720} x^6 a^1 + \frac{5040}{240} x^5 a^2 + \frac{5040}{144} x^4 a^3 + \frac{5040}{144} x^3 a^4 + \frac{5040}{240} x^2 a^5 + \frac{5040}{720} x^1 a^6 + \frac{5040}{5040} x^0 a^7 \\ &= x^7 + 7x^6 a + 21x^5 a^2 + 35x^4 a^3 + 35x^3 a^4 + 21x^2 a^5 + 7x a^6 + a^7 \end{aligned} $$

Это и есть разложение бинома $(x+a)^7$ по формуле Ньютона. Надеюсь, это было полезно для вас.

: [Бином Ньютона — Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0)